ウォリスの公式

ウォリスの公式

 

問題　次のことを示し、この積分の値を求めよ。

　　

【解】

n=0のときは、右辺、左辺の積分の値は

　　

となり、等式が成立する。

 

nが正の整数の場合。

x=π/2−tとおくと、x=0、π/2にはそれぞれt=π/2、0が対応し、dx=−dtである。

したがって、

　　

 

ゆえに、

　　

 

n=1のとき、

　　

 

n≧2のとき、

　　

よって、

nが偶数のとき

　　

nが奇数のとき

　　

 

ゆえに、

nが偶数のとき、

　　

nが奇数のとき

　　

（解答終）

 

上の結果から、次の公式を得ることができる。

nを正の整数とするとき

　　

 

この公式（Wallis積分）を用いると、次のWallisの公式を得ることができる。

 

Wallis（ウォリス）の公式

　　

【証明】

nを正の整数とするとき、0<x<π/2において、

　　

が成り立つ。

したがって、

　　

辺々をで割ると、

　　

ここで、漸化式

　　

を用いると、

　　

になる。

だから、ハサミ打ちの定理より

　　

となる。

（１）、（２）より、

　　

n→∞の極限をとって、

　　

（解答終）

 

（３）より、