変分原理（最小作用の原理）とラグランジュの方程式

変分原理（最小作用の原理）とラグランジュの方程式

 

変分原理（最小作用の原理）を用いて、ラグランジュの方程式を導こうという話。

 

ラグランジアンが与えられたとき、

　　

を作用積分という。

ここで、x(t)とをそれぞれと少しだけ変えると、作用積分も

　　

と変化する。

に注目し、δx(t₁)=δx(t₂)=0と端点を固定し、被積分関数の第２項を部分積分すると、

　　

これを（２）式に代入すると、

　　

となる。

（３）の括弧の中身=0は、ラグランジュの方程式、

　　

になっており、ラグランジュの方程式は作用積分Iの停留条件（極大、極小の必要条件）δI=0になっている。

そして、

　　

を汎関数微分と呼んだりする。

 

書いただけだにゃ。

このあたりの話を（数学的に）キチンとしようと思ったら、関数解析などの知識が必要になり、ねこ騙し数学の現在のレベルを超えてしまうので、匂いだけ味わって欲しいにゃ。

 

解析力学の教科書などには、

　　

だから、δI=0であるためには

　　

でなければならない、

　　――（６）をオイラー・ラグランジュの方程式という――

と、さり気なく書いてあるものがあるが・・・。

 

読み物としては、琉球大学のここ↓などが面白いケロよ。

　最小作用の原理はどこからくるか？
　https://goo.gl/UvfStR