お前らに問題（７月２０日） 物理・力学 [ねこ騙し物理]
お前らに問題（７月２０日） 物理・力学
物理的な微分方程式の大学入試問題の「振り子の運動方程式」のところで書いたのだけれど、力学的エネルギーEが保存される系、１次元の運動の場合、エネルギーE＝一定の条件、すなわち、
から、その運動の方程式を導くことができる。
ということで、お前ら、次の問題を解くにゃ。
問題 力学エネルギーの和が
であるとき、（１）を用いて、この運動の方程式を導け。
ただし、m（質量）、k（バネ定数）は定数とする。
ところで、ばねの振動（１次元調和振動子の代表例）のラグランジアンLは
で与えられる。
（３）式の右辺第１項は運動エネルギーで、第２項はばねの位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）。
で、
とおくと、（３）式は
と書き換えられる。
そして、
という新たな量（ハミルトニアン）を新たに設けると――ルジャンドル変換すると――、
となり、この場合、運動エネルギーと位置エネルギーの和、つまり、力学エネルギーの和EはハミルトニアンHになるんだケロよ。
だから、この場合、（１）は、
と書いてもいいんだにゃ。
なお、この場合、ハミルトニアンHは
と書き換えることもできる。
さらに、
とおき、（６）を根拠に
とし、さらにψなる謎の量を導入し、
とすると、
という微分方程式を得ることができる。
この微分方程式（１０）は何かといえば、１次元調和振動子の（時間を含まない）シュレディンガーの方程式だ！！
なお、hはプランク定数、iは虚数単位。
解析力学を橋渡しとして、
ニュートンの力学から一気に量子力学のシュレディンガーの方程式まで到達してしまった！！
電子などのミクロなモノ（？）は、粒子としての性質（粒子性）と波としての性質（波動性）を同時に併せ持つ、なんて哲学的、形而上学的な議論なんてどうでもいいにゃ。
この数学的形式こそすべてだにゃ。
――ねこ騙し数学は、物理のブログではなく、数学のブログだから（笑い）――
さらに、この曲、動画を埋め込んでおこう。
おまけ
バネ定数kは、質量mと角振動数ωを用いて書き換えると、
となるので、（１０）式は
として、微分方程式（１０）を力技で解きーー一見、解くのは簡単そうに見えるけれど、この微分方程式の解くのは、結構、大変(^^ゞ――、エネルギーE（固有値）を求めると、
高校の物理の手法にならうと、プランクの量子仮説は
だから、
と書いたほうがわかりやすいのかもしれない。ここで、νは振動数。
（１３）式のn=0とした
を零点エネルギーというにゃ。
そして、（１１）で与えられる量子のもつエネルギーは、この零点エネルギーhν₀/2に、hν₀、2hν₀、・・・、nhν₀、・・・というhν₀の整数倍を加えた、飛び飛びの値しか持ち得ないことになる。つまり、（このときの）エネルギーは不連続な量で、エネルギーの最小単位が存在する。
量子（quantum）とは、エネルギーや電荷などの量の（最小）構成単位のことだにゃ。ナマの電子や陽子、光子が量子ではないケロ。だから、音の量子、音量子、フォノン（phonon）という（仮想的な）粒子（？）なんて奇妙なものまで（物性、固体）物理学に登場し、大活躍しているにゃ(^^)。
固体の比熱の理論（物理学者デバイさんの理論、比熱のデバイ模型）は、フォノンをもって語られる。つまり、固体の中では、絶えなる音楽が流れているのだ♪
「いまの話（ド・ブロイの物質波に関する、シュレディンガーの解説）は、どちらかというと幼稚な語り口だから、波動方程式にしないと」というデバイの感想からヒントを得て、シュレディンガーは量子力学の波動方程式を作ったといわれている。
シュレディンガー本人がそう語っているのだから間違いない。
シュレディンガーが後日、デバイにこの時の話をしたら、デバイは「そんなこと、オレ、言ったっけ」と答えたそうだ。
そして、最後に、ひとこと、「で、（私の提案）は間違っていたかい？」と付け加えたそうだ
ネムネコは物理屋さんじゃないからよく知らないけれど、
もし仮に、物質を絶対零度0°K（約−273℃）まで冷やことができたとしても、この零点エネルギーの存在のために、電子などの素粒子は、このν/2という振動数で振動をしていることになるらしい。そのように見なすことができるらしい。そして、このために、絶対零度のエントロピーは０にならず、０ではない有限なある値S₀を持つことになる。
それまで、絶対零度では、物質を構成する原子、電子や陽子などの運動は止まり、完全に静止する、文学的に表現すると”凍りつく、”死滅する”と予想されていたから、このことも衝撃の新事実（？）だったらしいね。
こういう解釈、理解が本当に正しいのかどうかについては知らないけれど、
量子力学の一般向けの啓蒙書、入門書などでは、ハイゼンベルクの不確定性原理
を根拠に、この零点エネルギーの説明がなされているようだ。ここで、Δpは運動量の不確かさ、Δxは位置の不確かさ。
たとえば、ウィキペディアの零点エネルギーの記事には、次のようにある。
零点エネルギー（れいてんエネルギー、英: zero-point energy, ZPE）あるいはゼロ点エネルギーとは、絶対零度においても原子が不確定性原理のために静止せずに一定の振動をする場合のエネルギーである。
そして、この話は、ブラックホール、ブラックホールの消滅、ホーキング放射などの話につながってゆくのだろう。
もし、ブラックホールにも、不確定性原理
が成立するのならば、＋∞に近いブラックホールの猛烈な重力をもってしても、粒子（？）を一点に固定し続けることはできない。つまり、粒子の位置の不確定さΔxは0になれない。そして、ブラックホール内の素粒子（？）の位置は、つねに、”ゆらぎ”、振動しているのだろう。
きっと、ddt³さんがこの話の続きをしてくれると思う。
と、例によって無茶ぶりをするネムネコであった(^^ゞ
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