ddt³さんの解答と位相の話を少し

このブログの共同執筆者のひとりであるddt³さんから、ddt³さん提出の次の問題（７月１８日）の回答をいただいたので、これを紹介することにする。

 

　位相をかじってると次のようになります。ただし我慢して定義の連続を読む必要はありますが(^^;)、頭の体操です。

 

 

［分離空間の定義］

　Ｘを位相空間とする（位相空間の定義を読む）。

　x，y∈Ｘかつx≠yについて、共通分が空となるxの近傍とyの近傍がある（位相空間の近傍の定義を読む）。

 

 

　Ｘを集合，x∈Ｘとして、(x，x)の形の点全体の集合を、積集合Ｘ×Ｘの対角集合Δと言います。

 

［定理-1］

　Ｘが分離位相　⇔　Ｘ×ＸでΔは閉。

［証明］

　省略。でも定義だけから示せます。

 

　必要な定義：

　　分離空間の定義。位相空間の開集合，閉集合，近傍の定義。

［証明終］

 

 

［定理-2］

　Ｘを位相空間，Ｙを分離空間、f，g：Ｘ→Ｙかつ連続とする。f(x)＝g(x)となるxの全体Ｄは、Ｘで閉。

［証明］

　h：Ｘ→Ｙ×Ｙで、x→(f(x)，g(x))の形のものを考える。

　f，g：Ｘ→Ｙは連続だから、hも連続（積写像と連続写像の定義とそれから導かれる性質）。

　Ｄは、Ｙ×Ｙの対角集合Δのhによる逆像に一致する。Δは［定理-1］より閉集合なので、連続関数の性質からＤは閉。

 

　※もちろんＥ＝{(p，q)｜f(x)＝g(x)となる(p，q)＝(f(x)，g(x))}は、一般にΔと一致しません。しかしhの定義から、

 

　　h(Ｄ)＝Ｅ∩Δ⊂Δ

 

になるので、特にＤの定義から、

 

　　Ｄ＝h^(-1)(Ｅ∩Δ)＝h^(-1)(Δ)

 

です。本当は証明すべきですが。

［証明終］

 

 

［系-1（等式延長の原理）］

　f，g：Ｘ→Ｙかつ連続、Ｘを位相空間，Ｙを分離空間とする。

　Ａ⊂ＸがＸで密とすれば、Ａ上でf＝gならＸでf＝g。

［証明］

　1) Ｄを［定理-2］の集合とすれば、Ａ⊂Ｄ（逆像の定義と性質）。またＤは閉集合。

 

　密空間（稠密空間）の定義から、Ａの閉包をＡ’として、

　2) 1)からＡ’⊂Ｄ。Ｄが閉である事と閉集合の定義。

　3) Ａ’＝Ｘ。密空間の定義。

 

　2)，3)より、Ｄ⊂Ｘ＝Ａ’⊂Ｄなので、Ｄ＝Ｘ。

［証明終］

 

 

ネムネコの補足

 

位相の定義を上げると、たとえば、次のようになる。

 

空でない集合Xに対し、Xの部分集合の集合O（Xのべき集合の部分集合）が

　　

をみたすとき、OをX上の位相、XとOの組〈X, O〉を位相空間という。

 

さらに、位相空間〈X, O〉の開集合、閉集合、近傍などの用語説明。

 

位相空間〈X, O〉に対して、

１　Oの元（要素）を開集合という

２　Xの部分集合Aは、その補集合が開集合であるとき、閉集合という。

３　x∈XとXの部分集合Vに対して、x∈U⊂Vとなる開集合Uが存在するとき、Vはxの近傍であるという。

 

この定義から、Xの補集合は空集合∅、そして、空集合∅の補集合はXだから、Xと∅は、開集合であると同時に閉集合になる。

Xと∅以外に、開集合かつ閉集合である集合が存在しないとき、位相空間〈X, O〉は連結であるという。

 

そして、分離空間とは、Xの相異なる２点がつねに交わらない２つの開集合によって分離できるハウスドルフ空間のこと。

 

さらに、分離の定義。

 

〈X, O〉を位相とする。

Xの相異なる２点a、bが、互いに交わらないXの開集合A、Bで、a∈A、b∈Bとなるものが存在するとき、開集合によって分離されるという。

 

 

実数全体の集合Rと、その部分集合である開区間I（条件a<x<bを満たす集合）は、この上の性質を全て有している。

 

こんなことは知らなくていいことですが、

位相にはT₀、T₁、T₂、T₃、T₄の５種類ほどの分離のタイプがあって、この分離は３番目のもので、これを満たすものをT₂空間と呼ぶことがある。

そして、普通、位相で分離といったら、３番目のものをいう。

 

というこどで、ハウスドルフ空間といったら、実数全体の集合R、数直線をイメージすれば、大体、間違いがない。

 

たとえば、a<bのとき、

　　

とすれば、

　　A⊂R、B⊂R、A∩B=∅、a∈A、b∈B

という条件を満たすので、aとbは交わらない２つの開集合A、B（開区間）で分離できる。

そして、このことから、〈R, O〉はハウスドルフ空間であることを示すことができる。

だって、x≠yのとき、xとyの小さい方をa、大きい方をbをおけばいいのだから。

 

 

とを位相空間、とする。

１　すべてのYの開集合Gに対し、Gのfの逆写像の像がXの開集合であるとき、fはからへの連続写像という。

２　Xの元xに対して、f(x)のYにおける近傍Vのfによる逆像がxのXにおける近傍になっているとき、fはxで連続であるという。

 

で、Xのすべての点xでfで連続であることと、が連続であることと同値である。

 

そして、次の定理（？）。

 

定理（？）

〈R, O〉を実数直線とする。関数f:R→Rが連続であることと、

を満たすことは同値である。