第５回 合成積のラプラス変換とその応用

第５回　合成積のラプラス変換とその応用

 

 

f(t)、g(t)を区分的に連続な関数とするとき、

　　

をf(t)とg(t)の合成積といい、記号であらわす。

 　　

無証明で次の定理を。

 

定理（合成積）

関数f(t)、g(t)が区分的に連続で指数位数な関数ならば、次の関係が成り立つ。

　　

 

上の定理から、次のことは明らかであろう。

　　

 

 

問１　f(t)がt≧0で定義された連続関数であるとき、次の微分方程式を解け。

　　

【解】

とおき、微分方程式の両辺のラプラス変換をとると、

　　

これをY(s)について解くと、

　　

この両辺をラプラス逆変換すれば、

　　　　

（解答終）

 

【別解】

微分方程式の両辺にをかけると、

　　

両辺を積分すると、

　　

（解答終）

 

 

問２　次の（積分）方程式を解け。

【解】

（１）　両辺をラプラス変換すると、

　　

Y(s)について解くと、

　　

両辺を逆ラプラス変換すると、

　　

 

（２）　両辺をラプラス変換すると、

　　

両辺の逆ラプラス変換をとると、

　　

（解答終）

 

 

問３　次の方程式を解け。

　　

【解】

両辺のラプラス変換をとると、

　　

Y(s)について解くと、

　　

両辺の逆ラプラス変換をとると、

　　

（解答終）

 

【別解】

u=t−τとおくと、

　　

なので、

　　

よって、微分方程式は

　　

となる。

よって、t=0のとき、

　　

また、①の両辺をtで微分すると、

　　

①から

　　

だから、これを②に代入すると

　　

両辺にをかけると、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

【別解２」

①の両辺にをかけると、

　　

ここで、

　　

とおくと、

　　

両辺にをかけると

　　

両辺をtで微分すると、

　　

（解答終）