無限級数の収束・発散

無限級数の収束・発散

 

高校のとき、

　　

という無限級数が発散することを示す次のような証明を見て、深く感動した。

 

【無限級数（１）が発散することの証明】

 

　　

 

ゆえに、（１）は発散する。

（証明終）

 

感動するのと同時に、「こんなうまい証明法は絶対に思いつかない」と、自分の才能のなさを痛いほど思い知らされた。

 

【別証】

0<k<x<k+1とすると、

　　

k=1,2,・・・,nとし、（２）を足し合わせると、

　　

n→のときlog(n+1)→∞だから、

　　

よって、（１）は発散する。

（別証終）

 

 

（３）式の左辺と中辺のnをn−1に変え、さらに両辺に１を加えると、

　　

したがって、

　　

ここで、

　　

とおくと

　　

となり、は下に有界な単調減少数列だから、（４）は0以上1未満のある数に収束する。この極限値をCとすると、

　　

そして、この数CをEulerの定数という。

 

問１　次の級数が収束することを示せ。

　　

 

別証のように、積分を使ったダサい証明法は嫌だというヒトは、

　　

という不等式を利用すると、

　　

この両辺に1を加えると・・・。

もう、答を書いたようなものだが。

 

証明できなかったヒトは、数学的帰納法を使って

　　

を証明する。

過去に何度も大学入試に出題された問題だケロ。

 

なお、次の関係が成立することは言うまでもないだろう。

　　

 

 

ところで、無限級数（６）はいったいどんな数に収束するのだろうか。

１より大きく２以下であることは確かであるけれど謎である(^^)。

 

 

問２　次の級数は、a≦1のときは発散し、a>1のとき収束することを示せ。

　　

 

問３　次の級数の収束・発散を判定せよ。

　　

【解】

（１）

　　

よって、発散する。

 

（２）

　　

よって、発散する。

（解答終）

 

 

別証のように積分を使って解くこともできるだろうが・・・。

 

 

オマケ

 

　　

であることは次のように示すことができるだろう。

 

【証明】

n<x<n+1とすると、平均値の定理より

　　

となるcが存在しする。

よって、

　　

（証明終）

 

あるいは、積分を使って、次のように証明することもできる。

 

【別証】

n<x<n+1とすると、

　　

｛証明終）

 

積分を使ったほうが、こころもち、証明は楽かもしれない。

積分を使った不等式の証明は、なかなか思いつかないものであるが・・・。