第１５回 濃度の積

第１５回　濃度の積

 

§１　濃度の積の定義

 

集合の元の個数がそれぞれm、nである２つの有限集合A、Bがあるとする。このとき、AとBの直積A×Bの元の個数はmnである。また、有限集合の場合、集合の元の個数と濃度は一致する。したがって、AとBの濃度を｜A｜、｜B｜で表すと、｜A｜=m、｜B｜=nであり、A、Bの直積A×Bの濃度｜A×B｜=mn。

そこで、一般の濃度の積を次のように定義することにする。

 

定義

α、βを２つの濃度とする。このとき、｜A｜=α、｜B｜=βである任意の集合A、Bをとり、その直積A×Bの濃度をαとβとの積といい、

　　

 

この定義が意味を持つためには、｜A｜=｜A'｜=α、｜B｜=｜B'｜=βのとき、常に、

　　

が成り立つ必要がある。

このことは、次のことから確かめられる。

であるから、AからA'への全単射（１対１対応）f、BからB'への全単射gが存在する。A×BからA'×B'への次の関数hを考える。

　　

すると、hは全単射。よって、｜A×B｜=｜A'×B'｜である。

 

定理　濃度の積については、次のことが成り立つ。

【証明】

（１）　｜A｜=α、｜B｜=βであるA、Bをとると、αβ=｜A×B｜、βα=｜B×A｜。

A×Bの元(a,b)とB×Aの元(b,a)を対応させると、これは全単射。

よって、

　　

 

（２）　｜A｜=α、｜B｜=β、｜C｜=γとすると、

　　

 

（３）　｜A｜=α、｜B｜=β、｜C｜=γ、B∩C=∅である、A、B、Cをとると、

　　

また、だから、

　　

よって、

　　

 

（４）　｜A'｜=α'、｜B｜=βであるA'、Bをとれば、α≦α'よりA⊂A'で｜A｜=αであるAが存在する。

よって、

　　

ゆえに、

　　

（証明終）

 

例１　任意の濃度αに対して

　　

｜A｜=0、｜B｜=αとすると、A=∅。したがって、A×B=∅。

よって、0α=α0=0である。

 

例２　任意の濃度αに対して

　　

 

例３

　　

とおくと、。

そこで、A×Bの元

　　

に対して

　　

の矢印の順番に番号を付けてゆけばA×Bは可算集合になる。

したがって、

　　

 

例４

　　

A、Bを開区間(0,1)とすると、。

(a,b)∈A×Bとすると、a∈A=(0,1)、b∈B=(0,1)はともに

　　

と無限小数の形に展開できる。

そこで、(a,b)をに対応させる写像fを考えると、A×Bは実数全体の集合Rの部分集合と対等。

ゆえに

　　

また、

　　

したがって、

　　

 

§２　和と積の関係

 

２つの有限濃度mとnとの積mnはnを加えたものである。

すなわち、

　　

これは次のように言い換えることができる。

集合｛1, 2, 3, ・・・, m｝を添字の集合とする濃度系がiにかかわらず、を満足すれば、

　　

である。

 

このことは、一般の濃度にも成り立つ。

 

定理　α、βを２つの濃度とし、α>0とする。このとき、なる集合Iを添字の集合とする濃度系が、iにかかわらずを満足するならば、その濃度系の和はαβに等しい。

　　

【証明】

Iの各元iにである集合を対応させ、

　　

となるようにすると、

　　

次に、｜B｜＝βである任意の集合Bをとると、Iの任意の元iに対して。したがって、Bからへの１対１の対応が少なくとも１つ存在する。その１つをとおく。ここでI×Bを作り、その元(i,b)にを対応させるようなI×Bからへの対応φ

　　

を考えると、これは全単射。

よって、

　　

（証明終）

 

例１　α=n（自然数）、とおけば、定理は

　　

 

例２　とおけば、定理は

　　

となる。

これより、

　　

 

§３　濃度の積の拡張

 

濃度αと濃度βとの積αβは、｜A｜=α、｜B｜=βなる集合、AとBの直積A×Bの濃度であった。いま、このAとBとの和集合A∪Bを作り、集合｛1,2｝からA∪Bへの関数fのうちで、それによる1の像f₁がAに属し、f₂がBに属すものの全体Cを考えると、

　　

になる。

一般に、濃度α₁、α₂に対し、なる集合A₁、A₂を選び｛1,2｝からA₁∪A₂へのなる関数fの全体を作れば、その濃度はα₁α₂に等しい。

同様に、濃度に対して、である集合をとり、｛1,2,・・・,n｝からへのである関数fの全体の集合を作れば、その濃度はに等しいことが示される。

このことは次のように言い換えることができる。

集合｛1,2,・・・,n｝を添字の集合とする濃度系に対して、同じく｛1,2,・・・,n｝を添字の集合とするの集合系のうちで、任意のiに対してであるものを考える。このとき、から｛1,2,・・・,n｝からへの関数fで、どのiについてもとなるようなものの全体の集合を作れば、その濃度はに等しい。

一般に、Iを添字の集合とする集合系が与えられたとき、Iからへの関数fのうちで、i∈Iならばとなるようなものの全体を、集合系の直積といい、

　　

と書く。

特に、I=｛1,2,・・・,n｝あるいはI=｛1,2,・・・,n,・・・｝の時は、

　　

などと書く。

 

定義

濃度系が与えられたとき、Iの任意のiに対して、となるような集合系を考える。その直積の濃度を、濃度系の積といい、と書く。