デデキントの切断と上限、下限 [集合論入門]
デデキントの切断と上限、下限
§１ 上界と下界
Aを実数全体の集合Rの空でない部分集合とする。
あるα∈Rがあって、任意のx∈Aに対し、α≧xであるとき、αをAの上界という。
すなわち、
である。
あるβ∈Rがあって、任意のx∈Aに対し、β≦xであるとき、βをAの下界という。
すなわち、
Aの上界（下界）が存在するとき、Aは上に有界（下に有界）であるという。Aが上に有界かつ下に下界であるとき、Aは有界であるという。
例１ 空でない実数Rの部分集合
があるとする。
α≧1の実数αに対して、任意のx∈Aはα≧xだから、αはAの上界で、1はAの最小の上界である。
β≦0の実数βに対して、任意のx∈Aはβ≦xだから、βはAの下界で、0はAの最大の下界である。
また、Aは上に有界でかつ下に有界だから、Aは有界である。
§２ 最大数と最小数
AをRの空でない部分集合とする。
α∈Rが存在し、α∈AかつαがAの上界であるとき、αをAの最大数といい、記号max Aで表す。
β∈Rが存在し、β∈AかつβがAの下界であるとき、βをAの最小数といい、記号min Aで表す。
例２
とする。
このとき、1∈Rは、任意のx∈Aに対して
が成立するので、1はAの最大数。したがって、max A=1である。
また、0∈Rは、任意のx∈Aに対して
が成立するので、0はAの最小数。したがって、min A=1である。
例１の場合、Aの最小の上界1は1∉AだからAの最大数ではなく、Aの最小の下界0は0∉AだからAの最小数ではない。
§３ 上限と下限
定理１
Aを実数全体の集合Rの空でない部分集合とする。
（ⅰ） Aが上に有界ならば、Aの上界の全体集合Bには最小数が存在する。
（ⅱ） Aが下に有界ならば、Aの下界の全体集合Bには最大数が存在する。
【証明】
（ⅰ）を証明する。
Aの上界全体の集合をBとし、それ以外の数を全体の集合をCとすれば、
である。
何故ならば、pがAの上界ではない（補足）ので、
だから、
したがって、ここに実数（C,B）の切断ができる。
すると、デデキント切断によって
のいずれかが存在するが、この場合は、（２）である。
（１）であるとすると、α∈Cだから、先ほどのpと同様に
であるxが存在し、ここで
であるα’をとれば、α’<x、x∈Aだから、このα’もAの上界ではなくα’∈C。
故に、
これはα=max Cであることに矛盾する。
（ⅱ）も同様。
（証明終）
（補足）
pがAの上界であるとは、
したがって、pがAの上界でないは、上の否定をとった
すなわち、
任意のp∈Rに対して、
x>p
を満たすx∈Aが存在する
になる。
（補足終）
Aの上界の最小数をAの上限といい、sup Aあるいは
であらわす。
Aの下界の最大数をAの下限といい、inf Aあるいは
であらわす。
Aが上に有界（下に有界）でないとき、sup A=+∞、inf A=−∞とあらわす。
上限、下限を用いると、定理１は次のように言い換えることができる。
定理２
（１） 上に有界な集合Aには上限sup Aが存在する。
（２） 下に有界な集合Bには下限inf Aが存在する。
定理３
sup A=αである必要十分な条件は、任意のx∈Aに対してx≦α、かつ、任意の正数ε>0に対してα−ε<xを満たすx∈Aが存在することである。
すなわち、
inf A=βである必要十分な条件は、任意のx∈Aに対してβ≦x、かつ、任意の正数ε>0に対してx<β+εを満たすx∈Aが存在することである。
すなわち、
デデキントの公理をもとにしてこれらの定理を導いたが、定理２からデデキントの公理を次のように導くことができる。
（A,B)という切断があるとする。
集合Aは上に有界だから、定理２より上限α=sup Aをもち、α∈Aかα∈Bのいずれか一方である。
もし、α=sup A∈Aならば、αはAの最大数である。
α=sup A∈Bならば、定理３より、任意のε>0に対して、
であり、α−ε∉Bとなって、αは集合Bの最大数になる。
したがって、デデキントの実数の連続性公理と上限・下限の存在の定理２とは同値であり、どちらを実数の連続性の公理として良いことを示している。
実数の連続性の公理 （デデキント）
実数全体の集合Aの切断(A,B)を作ると、Aの最大数かBの最小数かのいずれかの一方だけが存在する。
2018-03-31 12:00
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