複素関数の微分の補充問題２

複素関数の微分の補充問題２

 

がDで正則で、u,vの２次の偏導関数が連続であれば、コーシー・リーマンの関係から

　　

が成立する。

したがって、u、vともにラプラス方程式

　　

を満たすので、u、vは調和関数である。

 

問　正則関数のuとvが連続な２次偏導関数をもつとき、（１）が成り立つことを示せ。

【略解】

コーシー・リーマンの関係より

　　

したがって、

　　

（略解終）

 

 

問題１　u=x³−3xy²が調和関数であることを示し、uを実部にもつ正則関数を求めよ。

【解答】

　　

よって、uは調和関数。

が正則関数であるとすると、コーシー・リーマンの関係式

　　

を満たさなければならない。

したがって、

　　

これをに代入すると、

　　

よって、

（解答終）

 

 

問題２　f(z)が正則であるとき、とすると、コーシー・リーマンの関係式は

　　

となることを示せ。

【解】

だから、という対応関係にある。

したがって、

　　

同様に、

　　

ここで、コーシー・リーマンの関係式を用いると、

　　

（解答終）

 

（２）式をについて解くと、

　　

同様に、（３）式から

　　

 

 

問題３　が正則のとき

であることを示せ。

【解】

 

（１）　コーシー・リーマンの関係より

　　

したがって、

　　

また、

　　

よって、

　　

 

（２）

　　

また、

　　

したがって、

（解答終）