一様収束の復習

一様収束の復習

 

区間Iで定義された関数からなる関数列がx∈Iの各点で関数f(x)に収束するとき、すなわち、

　　

であるとき、関数列はI上でf(x)に各点収束するという。

 

例１

　　

この関数列は、

　　

に収束する。

そこで、

　　

と定義すれば、

　　

となる。

 

ところで、は0<x<1で0に収束するので、任意のε>0に対して

　　

したがって、任意のε>0に対して、正の整数を選ぶと、x∈[0,1]で

　　

となる。

ここで［x］はガウス記号で、xを越さない最大の整数である。

 

一般に、区間Iで定義された関数列がf(x)に収束するとき、例１のように、（１）式の正の整数Nはεだけでは定まらず、点xで異なる。しかし、点xに無関係にNがεだけで定まるとき、つまり、であるとき、はf(x)に一様収束するという。すなわち、

任意のε>0に対し、N(ε)を十分に大きく選べば、∀n>N(ε)と∀x∈Iに対し

　　

であるとき、関数列は関数f(x)に一様収束するという。

 

例２

　　

は0に一様収束する。

　　

よって、任意のε>0に対して、にとれば、∀n>Nと∀x>1に対して

　　

となり、0に一様収束する。

一様収束する関数列に関しては、次の定理が成立する。

 

定理

を[a,b]で連続な関数列とする。[a,b]上でがf(x)に一様収束するならば、

　　

 

例３　a>1とすると、

　　

は、[1,a]上では0に一様収束する。

したがって、定理より

　　

実際、左辺を計算してみると、

　　

 

問題　

　　

のとき、次の問に答えよ。

（１）　が一様収束することを示せ。

（２） の値を求めよ。

【解】

（１）を微分すると、

　　

したがって、x=1/nのときに極大、かつ、最大になり、

　　

したがって、任意のx≧0に対して

　　

また、

　　

だから、ハサミ打ちの定理より

　　

である。

ε>0、さらに、とすると、

　　

したがって、任意のεに対して、にとると、∀n>Nに対して

　　

となるので、は0に一様収束する。

 

（２）　定理より、

　　

（解答終）

 

ところで、例１の

　　

は、0に各点収束するけれど、一様収束ではない。

しかし、

　　

また、の極限関数

　　

の定積分

　　

となり、

　　

が成り立つ。

 

つまり、が[a,b]で連続な関数で、関数列が一様収束しなくても、

　　

が成り立つ場合がある。