上限と下限 （復習）

上限と下限

「整級数（べき級数）をやったので、関数列の一様収束を説明し、一気に・・・」とも考えたのですが、さすがにそれは飛ばし過ぎだろう、乱暴だろうということで、関数列の一様収束を説明する前に、復習をかねて、あらためて上限と下限について説明しますにゃ。

例えば、次のような有限な集合Aがあるとしますにゃ。
　　A={1, 2, 3}

このような、集合の要素が有限個の集合、つまり、有限集合ならば、最大値（最大数）、最小値（最小数）がかならず存在するにゃ。この集合Mの場合、最大値は３で、最小値は１。このことをmax A=3、min A=1といった記号であらわす。

A={1, 2, 3}なので、max {1,2,3}=3、min {1,2,3}=1と書いてもよい。

集合の要素が無限個の場合、たとえば、

　　A={x∈R｜0≦x≦1}　　　（斜体の太字Rは実数）

のような集合ならば、最大値や最小値が存在する。max A = 1、min A = 0だにゃ。
だけど、

　　A={x∈R｜0<x<1｝
には、最大値、最小値は存在しない。
最大値αの定義は、すべてのx∈Aに対してx≦α、かつ、α∈A。
もし、最大値αが存在するとすると、α∈Aなので、0<α<1でなければならない。

そうすると、

　　
となる。

　　

αが集合Aの最大値ならば、(α+1)/2≦αだから、これはαが集合Aの最大値であることと矛盾する。
よって、最大値は存在しない。

集合の要素の数が無限になると、最大値、最小値があるとは限らないよ。

と、前振りをしたところで、いよいよ本題の上限と下限の話。


上限と下限
上界・下界　AをRの空でない部分集合とする。

　　α∈Rが、すべてのx∈Aに対して、α≧xであるとき、αをAの上界という。

　　α∈Rが、すべてのx∈Aに対して、α≦xであるとき、αをAの下界（かかい）という。

Aの上界（下界）が存在するとき、Aは上に有界（下に有界）であるという。Aが上に有界かつ下に有界であるとき、Aは有界であるという。

上限・下限　Aが上に有界（下に有界）、Aの上界（下界）全体の集合Bには最大数（最小数）が存在する（実数の連続性）。Aの上界の最小数をAの上限といい、

　　
とあらわす。
Aの下界の最大数をAの下限といい、
　　
とあらわす。
Aが上に有界でない（下に有界でない）とき、sup A = ∞（infA = −∞）とあらわす。

実数の空でない部分集合Aが上に有界（下に有界）ならば、Aの上界（下界）全体の集合Bには最大数（最小数）が存在する（実数の連続性）。

これは数学の公理であって、証明できないにゃ。

これを証明するためには、新たに別の公理を設けないといけない。例えば、有名なところではデデキント切断。

そして、ねこ騙し数学の微分積分などは、この上限・下限についての公理を暗黙のうちに認めて話を進めてきたにゃ。

で、これを難しい数学語で書くと、次のようになるにゃ。
sup A=αであるための必要十分な条件は、次の（ⅰ）（ⅱ）が成り立つことである。
　　（ⅰ）すべてのx∈A、x≦α

　　（ⅱ）すべてのε>0に対してα–ε<xを満たすx∈Aが存在する。

Inf A=βであるための必要十分な条件は、次の（ⅰ）（ⅱ）が成り立つことである。
　　（ⅰ）すべてのx∈A、β≦x

　　（ⅱ）すべてのε>0に対してβ+ε>xを満たすx∈Aが存在する。

なお、
sup A=αの（ⅰ）はαが集合Aの上界であることを意味し、（ⅱ）はαが上界の最小数であることをあらわしている。

inf A=βの（ⅰ）はβが集合Aの下界であることを意味し、（ⅱ）はその最大数であることをあらわしている。

例えば、先にあげた実数Rの部分集合A
　　A={x∈R｜0<x<1｝
の場合、sup A = 1、inf A = 0になるのだけれど、（ⅰ）の条件だけでは駄目なんだにゃ。
例えば、α=2とすると、すべてのx∈Aに対して,x<1<α=2が成り立つにゃ。だから、2は集合Aの上界の一つではあるけれど、最小数ではないケロ。よって、2はAの上限ではない。

また、（ⅱ）だけでも駄目なんだケロ。例えば、α=1/2とすれば、どんな正数εを選んでも

　　
となり、この条件を満たすx∈Aが存在する。だから、この（ⅰ）と（ⅱ）の２個の条件が必要となる。

では、
　　A={x∈R｜0<x<1｝

の上限αが1であることの証明。

α<1でないことは明らかだから、α>1とするにゃ。正数εにはどんな正の数を選んでもいいので、ε=(α–1)/2とするケロ。そうすると、

　　
となるので、

　　
を満たすxは集合Aに存在しない。

だから、集合Aの上限α=1でなければならない。

0が下限であることの証明は、次のようにやればいいにゃ。

β>0でないことは明らかなので、β<0とする。で、ε=−β/2（βは負の数なので−1をかけると正の数になる）とすると、

　　

こんなxはAに存在しないにゃ。だから、下限βは0でなければならないにゃ。

でも、この集合Aの上限が１であり、下限が０であるこであることは明らかなので、こんな面倒くさい議論をする必要はないにゃ。

ちなみに、集合Aに最大数があればそれが上限になるし、最小数があれば下限になる。

では、ちょっとだけ発展問題を。

問題　次の集合の上限と下限を求めよ。

　　

【解（？）】

この集合の上限、下限を記号で書けば、

　　
とかになるんだろうけれど、そんなことはどうでもいいや。
　　

となるから、sup A = 2なのは明らか。

そして、この・・・の部分は限りなく１に近づくので、inf A=1だにゃ。

inf A=1の証明ですかい。

  
は明らかでしょう。つまり、条件（ⅰ）はクリアーする。
で、どんな正数εをとっても、

  
となるnは存在するにゃ。存在しないとすると、自然数Nには上に有界になってしまう！！（※）

であるからして、

  
となるが存在するにゃ。

（※）
「どんな正数εをとっても、

 　　
となるnは存在がする」の否定は、ある正数εがあって、すべてのn∈Nに対して

　　

となり、自然数は上に有界になってしまう。