第３６回 整級数（べき級数）

第３６回　整級数（べき級数）


整級数（べき級数）とは、次のような形であらわされる無限級数のことですにゃ。

　　

を整級数の係数、αを整級数の中心という。

それで、ζ=z–αとおくと①は

　　
の形になるので、①ではなく、原点を中心とする

　　

で議論を進めますにゃ。

②の形の整級数で最も簡単なものは、

　　

だにゃ。

これは３４回で出てきたけれど、｜z｜<1ならば、

　　

に収束する。だけれども、｜z｜>1では収束せずに発散してしまう。

というように、一般に整級数は、zの値によって収束するか発散するかが決まるんだにゃ。

定理５

整級数がのときに収束するならば、この級数はである任意のzで絶対収束する。

【証明】
は収束するので定理２の系より、すべてのnに対してとなるMが存在する。
よって、

　　

となる。
なのでは収束し、定理４よりは絶対収束する。
（証明終わり）

系

がのときに絶対収束しないならば、この級数はである任意のzで発散する。

【証明】
の点ζで整級数が収束すると仮定する。
定理５よりのすべての点zでは絶対収束することになるが、「点で絶対収束しない」という条件と矛盾。

よって、
がのときに絶対収束しないならば、この級数はである任意のzで発散する。

収束半径
定理５とその系から、一般に整級数が与えられると、｜z｜<Rのときに整級数が絶対収束し、｜z｜>Rでは発散するような正の実数Rが存在する。このRを整級数の収束半径といい、複素平面上の円｜z｜=Rを収束円という。

ただし、z=0以外の全ての点で整級数が発散する場合にはR=0とし、すべてのｚに対して収束する場合にはR=∞tとする。

この収束半径Rの求め方には、次の２つの定理が良く使われるにゃ。

定理６（Cauchy-Hadamardの公式）

整級数の収束半径Rは次の式で与えられる。
　　

定理７
整級数に対してが存在するならば、その極限値は収束半径Rを与える。

　　

定理６、定理７ともに、1/R=0のときはR=∞、1/R=0のときはR=0と定義することにする。

定理６でなんか変な記号が出てきたにゃ。これは上極限と呼ばれるものだケロ。よく使うのは定理７の方なので、「こんなのがある」程度で十分だにゃ(^^ゞ
実級数の場合の証明は、「数列と級数」のどこかで書いていると思うにゃ。

気が向いたら、改めて証明することにして、今は先を急ごう。

問題　次の収束半径を求めよ。

【解】
（１）だから、

　　

よって、収束半径R=1

（２）だから、
　　
よって、収束半径R=∞となる。

ちなみに、

　　

なんだケロ。

指数関数をこのように定義することもできるんだにゃ。


参考

第３４回　べき級数と収束半径
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2015-06-30

第３５回　べき級数の性質
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2015-07-01