第２４回 極値に関する問題の演習

第２４回　極値に関する問題の演習

問題１　次の関数に極値があれば求めよ。

　　

【解】

（１）　とする。

で、これをｘとｙに関して偏微分をして停留点を求めるにゃ。
すると、

　　

となり、この連立方程式を解くと(x,y)=(0,0)。

　　

だから、

　　

は極小値。

（２）　

　　

となり、(x,y)=(0,0)は停留点。
　　

なので、f(0,0)= 0は極値でない。

（３）　これは見ただけで最小値が３だとわかるにゃ。

　　

　　

とすれば、

　　

等号成立は

　　

の時で、(x,y)=(1,1)だにゃ。

　　

だから、

　　

とやりたいところだけれど・・・。

　　

これを解くと(x,y)=(1,1)になるにゃ。

たぶん、

　　

になる。

でも、x=0だと、

　　

でゼロ割が発生するので、x=0は解として不適。だから、x=y=1。

　　
となるので、これに(x,y)=(1,1)の値を代入すると、A>0、D>0になり、f(1,1)=3が極小値であることがわかるケロ。

問題２　の定める陰関数yの極値を求めよ。
【解】
とする。

で、

　　

となるので、

　　

と連立させて、これを解くにゃ。

　　

になるので、
　　

となって、この連立方程式の解(x,y)は(1,−3)、(−1,3)だにゃ。
で、

　　

だから、

　　

となるにゃ。

だから、(1,−3)ではとなり、極小。(−1,3)ではとなり極大。

よって、x=1のとき極小で、極小値は−3、x=−1のとき極大で、極大値は3となる。

問題３　次の関数ｆの示された条件での極値を求めよ。
　　
【解】
として、ラグランジュの未定乗数法を使うと

　　

となるにゃ。
最初の２式より

　　

となるので、

　　

よって、

　　

で、

　　

よって、

　　

(x,y)=(1/√5,4/√5)のとき極大で極大値は√5

(x,y)=(−1/√5,−4/√5)のとき極大で極大値は−√5

になる。

y=4xという関係があるので、

　　

として計算してもいいケロ。

こっちの方が計算は楽だにゃ。