第２５回 平面曲線の接線の方程式

第２５回　平面曲線の接線の方程式

通常点と特異点

f(x,y)を級とし、a=(a,b)を曲線f(x,y)=0上の点とする。
このとき、が同時に０にならないときaを通常点といい、となるときは特異点という。

それで、陰関数定理より
ならばaの近傍でこの曲線はy=φ(x)、
ならばaの近傍でx=φ(y)
と表すことができるケロ。

また、通常点aではただ一つの接線が存在し、その方程式は

となる。

このことは、のとき、

となり、接線の方程式が

となることからわかると思うにゃ。

ということで、簡単な問題をやってみるにゃ。

問題　次の曲線の点での接線の方程式を求めるケロ。

【解】

だから、点での接線の方程式は①より

 

これは、当然だけれども、１変数の微分を使って

と一致する。

違ったら、大変だケロ(^^)

それで、①の良い点は、の場合で考えてみるとわかるにゃ。

あまりうるさいことを考えないで、機械的にdy/dxを求めてみるにゃ。

になるので、

になるね。このことから、点(±1,0)でdy/dxが存在しないことがわかるにゃ。y=0だから、数学の大禁則ゼロ割りが発生してしまうからだにゃ。
つまり、点(±1,0)でこれは微分可能じゃないんだケロ。だから、

とかは使えないにゃ。

でも、①式は

と接線の方程式が出てくるんだにゃ。
凄いと思わないケロか？

「⑨ネコ、ちょっと待った！！」

「何だよ」

「となるので、陰関数定理から、y=φ(x)と一意に決まる保証がないじゃないか」
「オレが書いた部分をよく読んでみるにゃ。この点ではだから、(1,0)の近傍ではx=φ(y)と一意に決まるんだよ。だ・か・ら、問題は発生しないにゃ」

だけど、

だと、

となり、点(0,0)が特異点になるので①は使えない。

しかも、この点では接線が２個あるんだケロ。

この話は次回ということで。