第５回 逆像の性質

第５回　逆像の性質


f:X→Yという写像があり、B⊂Yであるとき

　　

をBのfによる逆像（原像）という。

ここまでは、復習。

で、逆像には関しては次の定理がある。

定理　f:A→Bを写像とし、とするとき、

　　

が成り立つ。

前回やった証明は、書く方も読む方も辛いと思うので、次の証明を紹介する。

【証明】
　　

たぶん、ここに何が書いてあるか、わからないと思うけれど、このように証明する。

逆像に関しては、等号が成り立つということだけを知っていればいい。

なのだけれど、

定理　f:A→Bを写像、のとき、

　　

である。

この証明は後回しにしまして、実例を上げたほうが理解しやすいと思う。
例　f:R→Rで、

　　

という写像を考える。

（１）　A=[0,2]とすると、

　　f(A)=f([0,2])=[0,4]

となる。
一方、

　　

となる。

[0,2]⊂[-2,2]だから、

　　

となる。

（２）　B=[-1,4]とすると、

　　

になる。

で、

　　

となる。

で、何故、等号が成立しないかというと、（１）の場合はfが単射じゃないから、そして、（２）の場合は全射じゃないから。

ということで、「写像が単射か、全射か」ということは重要である。

（１）の証明は、

　　

（２）の証明

　　

とする。

すると、写像の定義から、b=f(a)となるが存在する。

よって、となり、

　　

本によっては、（１）、（２）ともに「明らか」の一言で片付けている。

あまりに明らかなので、証明はかえって理解を拒む。
写像の包含関係に迷った時は、二次関数
　　
を思い浮かべるといいと思う。

第４回、第５回で大切なのは、証明を覚えることよりも、正しいイメージをもつことです。

写像の像はイメージ（image）！！

そして、何か困った時、判断がつかない時には

　　

の３つの関数を思い浮かべれば、大体、事足ります。