第4回 像の性質 [数学基礎]
第4回 像の性質
A、B、Cを集合とする。
集合の基本的性質として、次のものがある。
(1) A⊂A
(2) A⊂B、B⊂CならばA⊂C
(4) A⊂A∪B、B⊂A∪B
知っているとは思うけれど、念のため、
A∩B={x|x∈Aかつx∈B}
A∪B={x|x∈Aまたはx∈B}
のことです。
証明はいらないと思うけれど、(3)だけやってみることにする。
x∈A∩Bとすると、「x∈Aかつx∈B」となり、x∈Aである。
x∈A∩B⇒x∈A
となり、A∩B⊂A
である。A∩B⊂Bも同様。
問題1 (4)を証明せよ。
【証明】
x∈Aならば「x∈Aまたはx∈B」は成立する。
x∈Aならば「x∈Aまたはx∈B」となり、
A⊂A∪Bとなる。
B⊂A∪Bも同様。(証明終わり)
では、次。
(5) A⊂BかつA⊂Cならば、A⊂B∩C
(6) A⊂CかつB⊂Cならば、A∪B⊂C
(5)と(6)の証明は、ベン図を書くなり、好きなように証明して欲しい。
では、いよいよ、本題。
f:X→Y、A⊂X、B⊂Xとする。
(Ⅰ) A⊂Bならばf(A)⊂f(B)
(Ⅲ) f(A∪B)=f(A)∪f(B)
(Ⅰ)はほとんど明らかだから、証明はしない。
(Ⅱ)の証明は、この(Ⅰ)と(3)、(5)を使う。
A∩B⊂Aだから、(Ⅰ)より
同様に、
f(A∩B)⊂f(B)。したがって、(5)より、
f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)
(証明終わり)
(Ⅲ)の証明は以下の通り。
【Ⅲの証明】
f(A)∪f(B)⊂f(A∪B)の証明(4)より
A⊂A∪B、B⊂A∪B。(Ⅱ)より
f(A)⊂f(A∪B)、f(B)⊂f(A∪B)となり、さらに、(Ⅰ)より、
f(A)∪f(B)⊂f(A∪B)f(A∪B)⊂f(A)∪f(B)の証明
y∈f(A∪B)とは、y=f(x)を満たすx∈A∪B、つまり、「x∈Aまたはx∈B」を満たすxが存在するということ。x∈Aならば、y∈f(A)となり、
y∈f(A)∪f(B)。x∈Bならば、y∈f(B)となり、
y∈f(A)∪f(B)。よって、
f(A∪B)⊂f(A)∪f(B)となる。
以上のことから、
f(A)∪f(B)⊂f(A∪B)かつf(A∪B)⊂f(A)∪f(B)
となり、f(A∪B)=f(A)∪f(B)
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