第６回 集積値とワイエルシュトラスの定理

第６回　集積値とワイエルシュトラスの定理

§１　集積値

一般項が

　　

である数列を考える。

で、この部分列

　　

を考えると、これは、それぞれ、+1と–1に収束する。

この+1や–1のような点を数列の集積値という。

集積値の定義

数列のある部分列がaに収束するならば、このaを数列の集積値という。

問　次の数列の集積値は何か。幾つか。

　　

集積値の定義は次のように言い換えてもいい。

集積値の定義’

aのどのような近傍にも、数列の項が無限に多く存在するとき、このaを数列の集積値という。

aの近傍というのは、ε>0とすると、開区間(a–ε,a+ ε)のことだと思って欲しい。
そして、上の定義は、どのような正の数εをとっても、数列の項がa–εとa+εの間に無数あるということ主張している。

問の（２）の場合だと、集積値は1と0だが、a=1の近傍には、εをどれだけ小さくとっても、

　　

との項が無数に存在する。

同様に、a=0の近傍にもの項が無数に存在する。

たとえば、

　　

とすると、0の近傍には

　　

に等しい項が無数に存在する。

§２　ワイエルシュトラスの定理

定理８　（ワイエルシュトラスの定理）

有界な数列には少なくとも一つ集積値が存在する。

【証明】

有界だから

　　

を満たす正の実数Kが存在する。

つまり、

　　

閉区間[–K,K]を二等分して、[–K,0]と[0,K]という閉区間を作ると、このどちらかにの無数の項がある。

かりに[0,K]にあるとして、

　　

として、これをまた二等分する。すると[0,K/2]と[K/2,K]

になって、このどちらかにの無数の項が存在する。

かりに[K/2,K]に無数の項があるとすると、

　　

として、これをまた二等分する。

こうした操作を繰り返してゆくと、

　　

という閉区間の減少列が得られる。

すると、

　　

になる。

区間縮小法の原理から、これら閉区間すべてに共通に含まれる一つの数aが存在する。

それで、のなかに含まれる数列の項の中で最も番号が若いものを、に含まれる数列の中で最も番号が若いものをといった具合に、この操作をと無限に繰り返す。

すると、

　　

というの部分列が得られて、①と②より、はaに収束する（※）。

したがって、aはの集積値である。

（証明終了）

どして、ワイエルシュトラスの定理を証明したかというと、次回にこの定理を使って、コーシーの収束条件を証明したから。

本によっては、

定理８’　（ワイエルシュトラス・ボルツァノの定理）
有界数列は収束する部分列をもつ。

となっていると思うけれど、定理８を言い換えただけで、同じもの。

（※）

で、区間の幅がだから

　　

 

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