第4回 数列の極限の定理の続き [数列と級数]
第4回 数列の極限の定理の続き
定理5
ならば、とはともに収束する数列で、
である。
だから、は上に有界の増加数列であり、は下に有界の減少数列なので、
が存在する(定理4)。
(証明終了)
定理6 (区間縮小法)
閉区間の列において
ならば、すべての閉区間に含まれる一点αが存在し、
である。
上限・下限、有界な単調数列の収束、区間縮小法の順番で証明したけれど、
有界な単調数列の収束→区間縮小法→上限・下限、区間縮小法→上限・下限→有界な単調数列の収束
の順に証明することも出来る。ここで、大学の解析の演習書などに載っている有名な問題(算術幾何平均)をやる。
その前に、下準備として相加平均≧相乗平均
を証明する。a≧ 0, b ≧ 0 のとき、
である。だ・か・ら、 相加平均≧相乗平均
問題
とする。を示し、
であることを示せ。
【証明】
さらに
さらに、相乗平均≦相加平均だから
となり、
となる。
定理5からとはともに収束する数列となる。
として、
に、を代入すると
―――nが十分大きいならば、と見なせる―――
となり、
(証明終了)
定理8 (はさみうちの定理)
でならば
である。
【証明】
だから
である。
とすれば、n≧mで
となり、
条件より
だから、
となり、n≧mで
このことより
(証明終了)
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