第３回 数列の極限の定理

第３回　数列の極限の定理

§１　数列の極限の定理

２つの数列の極限値をそれぞれa、bとする。

つまり、

　　

定理２

【略証】

（Ⅰ）

　　

なので、

∀ε> 0, n ≧ m に対して

　　

となる。

（Ⅱ）

　　

ここで、

　　

とすれば、n≧mならば

　　

（Ⅲ）
　　

ここで、

　　

とすれば、n≧mならば

　　

ε<1と考えていいから、

　　

よって、

　　

（Ⅳ）は

　　

と考えればいいので、

　　

を証明すればいい。

∀ε> 0, n ≧ m に対して

　　

になるｍが存在する。

　　

ここで、0< ε < |b|/2 にとれば

　　

よって、

　　

（証明終了）

定理３

収束する数列は有界である。

【証明】

有界だから、すべてのｎに対して

　　

を満たす実数Mが存在する。

また、仮定より、数列が収束するので、ε> 0 とすると、n≧ m

　　

となるmが存在する。

つまり、n≧ m に対しては

　　

ｍ以下のととを合せて

　　

とする。

このどれよりも大きい数をMとすれば（※）、

　　

したがって、収束する数列は有界である。

（証明終了）

（※）　たとえば、

有限集合

　　

の最大値をlとすると、

　　

とすればよい。

 

§２　単調数列

であるとき、は単調増加であるという。

のとき、は単調減少であるという。

集合が上に有界（下に有界）であるとき、数列は上に有界（下に有界）であるという。

定理４

有界な単調数列は収束する。

【証明】

単調増加数列の場合を証明する。

は上に有界なのだから、supM = a という上限が存在する。

で、上限の定義より

　　

は単調増加だから

　　

となり、n≧ m に対して

　　

（証明終了）

上限の定義（定理）として次のものをあげることにする。

定理０（上限と下限）

上限supM = a であるための必要十分な条件は

∀x∈ M, ｘ ≦ a

かつ

∀ε> 0, ∃x ∈ M： a– ε < x

である。

下限 infM = β であるための必要十分な条件は

∀x∈ M, ｘ ≧ β

かつ

∀ε> 0, ∃x ∈ M： x< β + ε

である。

定理４は、数列の収束判定でよく使うので、これは憶えて欲しい。

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