第２回 数列の極限 [数列と級数]
第２回 数列の極限
高校数学などですと、数列の極限は次のように定義されますにゃ。
数列
において、番号n を限りなく大きくするとき、
がある定数a に限りなく近づくのであれば、これを
や
という記号で表わし、この場合、数列
でも、
「限りなく大きくする」や「限りなく近づく」という表現は、あまりに曖昧すぎるにゃ。
だから、ねこ騙し数学においては次の定義を採用するにゃ。
数列
任意のε > 0 に対してある自然数mが存在して、n ≧ m を満たす任意のn ∈ N に対して
である。
このときa を数列
また、
論理記号で書くと
や
とか書きますにゃ。
何を書いているかわからないと思うけれど、言っていることは、たとえば
という一般項の数列があった場合、
になるにゃ。
ほいで、たとえばε = 0.1だったら、
になるので、
n ≧ m = 11 にすれば、いいということにゃ。ε = 0.01 ならば、n ≧ m = 101 といった具合にすればいいんだにゃ。m を11 や 101 にしているけれど、これは別に12 でも 123 でも構わないにゃ。
εを与えると、それによってｍの値が決まり、n ≧ m のすべてのn に対して
が成立するというのがミソにゃ。
このことを明示するために、
と書くこともありますにゃ。
でも、
というものに対して、
ε = 2 とかにして、すべての自然数n に対して
なるので、この数列の極限値は1みたいにしたら駄目だケロ。
εはε > 0 の任意の実数だから、0.1や0.01といった値でも成立しないといけないんだにゃ。
ちなみに、この数列に極限値は存在しないケロ。
となるので。
で、数列の極限に関する重要な定理を一つご紹介しますにゃ。
定理１ （極限値の一意性）
数列
の極限は、存在すれば、唯一つである。
【証明】
a と異なるｂ (b > a)という極限値が存在すると仮定するケロ。
すると、極限の定義より
になるにゃ。
だから、n ≧ m ならば
だにゃ。
ほいで、εは任意の正の実数なので、ε = (b–a)/2 とすると、
①より
となり、
となってしまうケロ。
こんなことはありはしませんがな、矛盾ですがな。
a > bの時も同様。
よって、aと異なるｂなんて極限値は存在しないケロ。
なお、⑨でイチャモンをつけるネムネコのような口煩い奴の口封じのためには、
⑨を
として、
とするのがお洒落なんだにゃ。ここで、記号max{x,y}は、xとyで小さくない方の値を表わす。
重箱突きの好きなネムネコのような底意地の悪い奴に対する口封じのお呪いだね～、これ。
この説明は、次回、
の証明の時に詳しく説明するにゃ。
問題 次のことを証明するケロ。
【略解】
になるにゃ。
で、三角不等式より
になるので、
になるんだケロ。
宿題 次のことを証明するケロ！！
かつ
ならば、a ≧ 0 である。
【ヒント】
a < 0 と仮定し、ε = –a/2 とすると、
はてはて？？？
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