第１２回 標本調査

第１２回　標本調査

標本調査（一部調査）

統計調査によって、調査の対象となる全体の集合を母集団といい、選び出す、抽出する資料を標本、標本の個数を標本の大きさという。

標本平均の分布

平均m、標準偏差σの度数分布をしている母集団からn個の標本

　　

を抽出する。

これらの標本の平均値

　　

を標本平均といい、標本の標準偏差s

　　

を標本標準偏差という。

復元抽出の場合の標本平均、標本標準偏差を考える。

母集団から大きさnの標本を抽出し、抽出されたn個の確率変数を

　　

とすると、標本平均は

　　

したがって、標本平均の平均は

　　

は互いに独立な確率変数で、Xと同じ確率分布にしたがうから

　　

同様にして、標本平均の分散は、

　　

以上のことから、次のことが言える。

定理　標本分布とその平均、標準偏差

平均値m、標準偏差σの母集団から、復元抽出により無作為に大きさnの標本を取り出すとき、

標本平均の平均と標準偏差は、それぞれ

　　

である。

また、nが十分大きいならば、標本平均の分布は正規平均に近い。

非復元抽出の場合、母集団の大きさをNとすると

　　

であるが、Nが十分に大きければ、

　　

だから、非復元抽出であっても、

　　

と考えてよい。

問１　平均値２０、標準偏差５の母集団から、大きさ９の標本を無作為に復元抽出するとき、その標本平均と標準偏差を求めよ。

【解】

母集団の平均m=20、標準偏差σ=5、標本の大きさn=9だから、

　　

（解答終了）

 

問２　確率変数Xが右の表に従う母集団があるとする。

この母集団から大きさ４の標本を復元抽出するとき、その標本平均の平均と標準偏差を求めよ。

【解】

母集団の平均m、標準偏差σは

　　

標本の大きさn=4だから

　　

（解答終了）

問３　ある工場で製造された同じ種類の品物２０００個の平均値で１５０ｇで、標準偏差が４ｇである。これから２５個の標本を何回もとって重さを調べるとき、２５個の標本平均の平均と標準偏差を求めよ。

【解】

非復元抽出だが、母集団が大きいので、復元抽出とみなすことができる。

m=150g、σ=4g、n=25だから

　　

（解答終了）

非復元抽出として計算すると、

　　

第１１回 正規分布３

第１１回　正規分布３

独立試行の確率

　　

にしたがう二項分布B(n,p)の平均m、標準偏差σは

　　

である。

したがって、nが大きいとき、二項分布B(n,p)は、平均np、標準偏差の正規分布と近似することができる（右図参照）。

問１　１個のさいころを４８０回振るとき、１の目が出る回数が７５回以上、９０回以下である確率を求めよ。

【解】

１の目が出る回数をXとすると、Xは二項分布にしたがう。

よって、平均値m、標準偏差σは

　　

n=480とnは大きいので、二項分布は正規分布とみなすことができる。

　　

とおくと、Zは標準正規分布N(0,1)にしたがう。

　　

したがって、求める確率は

　　

（解答終了）

問２　次の問いに答えよ。

（１）　中学１年生のツベルクリン反応陰性者の比率は１３％であるという。中学１年生から無作為に３００人を抽出して調べたとき、その中に３０人以上５０人以下の陰性者のいる確率を求めよ。

（２）　ある伝染病の死亡率は２０％であるという。１００人の患者のうちに３０人以上の死亡者の出る確率を求めよ。

【解】

（１）　陰性患者の数をXとし、Xは二項分布B(300,0.13)にしたがうものと考えると、

　　

nが大きいとき、B(300,0.13)は正規分布N(39,5.8²)とみなすことができる。

　　

とおくと、これは標準正規分布N(0,1)にしたがう。

　　

よって、

　　

したがって、約９１％

（２）　伝染病の死亡者数をXとし、Xは二項分布B(100,0.2)にしたがうものと考えると、

　　

nが大きいとき、二項分布B(100,0.2)は正規分布N(20,4²)とみなせる。

そこで、

　　

とすると、Zは標準正規分布B(0,1)にしたがう。

　　

よって

　　

（解答終了）

ちなみに、二項分布B(100,0.2)と正規分布N(20,4²)は以下の通り。

両者がよく一致していることがわかると思う。

第１０回 正規分布２

第１０回　正規分布２

標準正規分布

平均m、分散σ²の正規分布をであらわす。

確率密度関数f(x)は
　　

だから、

　　

とおけば、
　　

だから、確率変数zは

　　

に従う。

これは、（１）のm=0、σ²=1とした形になっているから、平均0、分散1の正規分布である。これを標準正規分布という。

（２）で定義される変換を標準化変換という。

また、

　　　

である。

問１　確率変数Xが正規分布N(30,4²)に従うとき、

次の確率を求めよ。

　　

【解】

とおくと、zはN(0,1)にしたがう。

（１）　x=30のときz=0、x=34のときz=1。

よって、

　　

（２）　x=24のときz=−1.5、x=36のときz=1.5。

よって、

　　

（３）　x=34のときz=1、x=38のときz=2。

よって、

　　

（４）　x=24のとき、z=-1.5。よって、

 　　

（註）　標準正規分布曲線はy軸に関して対称だからP(Z≦−1.5)=P(Z≧1.5)。したがって、

　　

P(0≦Z≦1.5)はハッチングを施した部分。

（解答終了）

問２　ある高等学校３年生男子３００人の身長を測定したら、平均値165cm、標準偏差5cmで、正規分布に近い分布をしていた。

（１）　身長が１６０ｃｍ、１７０ｃｍ未満である生徒はおよそ何人か。

（２）　身長が１７３ｃｍ以上の生徒はおよそ何人か。

【解】

身長をXｃｍとすると、確率変数

　　

は正規分布N(0,1)にしたがう。

（１）

　　

正規分布表より

　　

よって、求めるべき人数は

300×0.6826=204.78≒205（人）

（２）

　　

だから、

　　

ゆえに、求める人数は

300×0.0548=16.44≒16（人）

（解答終了）

問３　５００人の生徒にテスト（１００点満点）を行ったところ、その成績は、平均６５点、標準偏差１０点で、正規分布に近い分布をしていた。

（１）　成績が５５点以上、７５点以下の生徒はおよそ何人か。

（２）　成績が５０点以下の生徒はおよそ何人か。

（３）　上から１００番以内に入るためには、およそ何点以上とればいいか。

【解】

テストの得点をXとすると、

　　

は正規分布N(0,1)にしたがう。

（１）

　　

したがって、

500×0.6826=341.3≒341（人）

（２）

　　　

したがって、

500×0.1668=83.4≒83（人）

（３）　１００番は、全体の上から100÷500=0.2にあたる。

N(z)=0.5−0.2=0.3になるz≒0.84。

z=0.84に該当する得点をxとすると

　　

したがって、７４点とればよい。

（解答終了）

ちなみに、５５点、７５点の偏差値は４０、６０。

５０点の偏差値は３５、７４の偏差値は５９です。

　　

第９回 正規分布１

第９回　正規分布１

§１　正規分布

１個のサイコロをn回振って、１の目が出る回数をXとすると、Xは２項分布に従う。

nをn=10,20,30,40,50と変化させ、１の目のr回出る確率

　　

を計算した結果を下図に示す。

nが大きくなるにつれて、折れ線グラフが次第に平均を中心とする左右対称な正規分布曲線

　　

に近づいてゆく（ラプラスの定理、中心極限定理）。

正規分布

　　

を確率密度関数とする確率分布を正規分布という。

ここで、mは平均値、σは標準偏差、σ²は分散で、この分布をであらわす。

特に、m=0、σ=1のとき、N(0,1)を標準正規分布という。

標準正規分布の確率密度関数は
　　

である。

　　

とおくと、

　　

であり、このI(λ)を確率積分という。

λの種々の値に対するI(λ)の値の表（正規分布表）の概略表を右に示す。

この表によると

　　

したがって変量Xの値が

　　m−σとm+σの値にある確率は約0.6826

　　m−2σとm+2σの値にある確率は約0.9544

　　m−3σとm+3σの値にある確率は約0.9974

である。

§２　正規分布の性質

確率変数Xが正規分布に従うとき、正規分布には次の性質がある。

　　　　

また、

（４）　Xが区間[a,b]に入る確率は

　　

である。

問　N(10,4)においてを求めよ。

【考え方】

この計算をするためには、正規分布N(10,4)を標準正規分布に変換して計算をしなければならない。

そこで、

　　

とおく。

このようにおくと

　　

たとえば、Xが区間[a,b]に入る確率を求める場合、x=aは、x=bはに対応するので、

　　

となり、正規分布表を利用することができる。

【解】

正規分布N(10,4)だから、平均値m=10、分散σ²=4だから、標準偏差σ=2。

　　

とおくと、は

　　

（解答終了）

求めるのは、下図の斜線部であることに注意！！

表計算ソフトを使って答えを求めるならば、たとえば、次のようにすればよい。

関数NORMDISTの書式は、たとえば、

　　NORMDIST（数値、平均、標準偏差)

である。

この問題の場合、

　　NORMDIST（13、10、2)

となる。

便利な時代になったものである。

正規分布表の使い方、見方がどうしてもわからない人は、表計算ソフトのNORMDIST関数を使ってもよい。

余談になるが、お馴染みの偏差値は

　　

だから、X=13の偏差値は

　　

となり、正規分布に従っているならば、上位約７％に入っていることになる。

偏差値７０は約上位５％で、偏差値８０は約0.1％である。

第８回 チェビシェフの不等式と大数の法則

第８回　チェビシェフの不等式と大数の法則

チェビシェフの定理（チェビシェフの不等式）

確率変数Xの平均、標準偏差をそれぞれm、σであるとすると、次の不等式が成り立つ。

　　

ただし、kは任意の正の数とする。

これをチェビシェフの不等式という。

【証明】

確率変数Xの値がであるときの確率をそれぞれとすると、

　　

そこで、に属するグループと、にわけると
　　

そして、

　　

（証明終了）

ベルヌーイの大数の法則

１回の試行において事象Aの起こる確率をpとし、n回の試行において事象Aの起こった回数をrとすると、任意の正数εに対して

　　

である。

【証明】

Aの起こる確率分布は２項分布だから、平均、標準偏差は

　　

チェビシェフの不等式

　　

に代入すると、

　　

それで、

　　

よって、

　　

εは任意の正数だから

　　

とおくことができ、

　　

したがって、

　　

p.q、εは正の定数だから

　　

したがって、

　　

である。

（証明終了）

 

問

「n個の値の算術平均（相加平均）をmとし、標準偏差をsとするとき、これらのn個の内の不等式

　　

は

　　

よりも多い」

という定理を用い、ある学級の生徒数は２８０人で、その平均点は６２点、標準偏差は４点であるという情報だけから５４点と７０点の何人より多く、また、５０点と７４点の間にあるものは何人より多いか判断せよ。

【解】

54≦x≦70のとき、m=62、s=4だからk=2。

したがって、

　　

よって、２１０人より多い。

50≦x≦74のとき、k=3だから

　　

したがって、２４８人より多い。

（解答終了）

 

得点を確率変数Xとする。Xの分布が正規分布に従っているとすると、

　　

とおくと、Zは標準正規分布N(0,1)に従う。

　　

だから、

　　

したがって、54≦x≦74の区間にいる生徒数は

　　

となり、約２６７人になる。

同様の計算をすると、50点と７４点の区間にいる生徒数は２７９人となり、ほぼ全員、この区間に収まることになる。

ちなみに、７０点は偏差値７０、７４点は偏差値８０である。

第７回 平均値と分散の公式

第７回　平均値と分散の公式

確率変数が２つの場合を考える。

確率変数Xが値をとり、Yが値をとるとする。

これらがそれぞれの値をとる確率を

　　

とする。

このとき、

　　

をXの周辺の確率といい、

　　

をYの周辺の確率という。

 

§１　期待値の公式

期待値の公式（定理）

【略証】

（１）

　　

（２）

　　

（３）

　　

（４）　XとYは独立だから、乗法定理から

　　

したがって、
　　

（証明終了）

問１　硬貨とさいころを同時に投げる試行で、硬貨に表が出たら２、裏が出たら１を対応させる確率変数をXとし、さいころに出た目の数を確率変数Yとする。確率変数X＋Yの値を求めよ。

【解】
　　

（解答終了）

問２　大・小２個のさいころを同時にふる試行で、大きいさいころの目の数を１０の位、小さいさいころの目の数を１の位として、２桁の数字を作るとき、その期待値を求めよ。

【解】

大きなさいころの目の数をX、小さいさいころの目の数をYとすると、

　　
また、こうして作られた二桁の数は10X+Yだから、この平均値は

　　

（解答終了）

 

§２　分散の公式

２乗平均と分散

【略証】

　　

（証明終了）

分散の公式

　　

【証明】

（１）

　　

（２）　

　　　

（３）

　　

XとYは互いに独立な変数なので、

　　

したがって、

　　

（証明終わり）

第６回 独立試行の確率と２項分布の問題

第６回　独立試行の確率と２項分布の問題

問題１　❍、☓で答える６つの問題が与えられている。いまこの解答にするのに何も考えずにでたらめに❍、×をつけるとき、そのうちの正解数をXとする。

（１）　X≧3になる確率を求めよ。

（２）　Xの平均値（期待値）と標準偏差を求めよ。

【解】

正解数の分布は２項分布。

（１）

　　

（２）　平均値mと標準偏差σは

　　

（解答終了）

 

問題２　日本人の血液型の１０人に３人の割合がO型である。５人の日本人を選んだとき、そのうちのO型の人数をXとする。

（１）　Xはどのような分布に従うか。

（２）　Xの期待値と標準偏差を求めよ。

（３）　南方系のある人種から５人を選んだとき、そのうちの４人が O型であった。この人種が日本人よりもOがたが多いと判定したときの危険率を求めよ。

【解】

（１）　２項分布B(5,0.3)に従う。

（２）　平均値をm、標準偏差をσとすると、

　　

（３）　日本人とO型の割合が等しいと仮定する。

つまり、p=0.3として、P(X≧4）の確率を計算すると

　　

よって、危険率は3%である。

（解答終了）

危険率については検定であらためて説明することにするが、

「南方系のある人種の人たちに占めるO型のヒトの割合が日本人のそれと等しい」という仮説を立てると、５人中４人がO型である確率は0.03で非常にまれなことが起きているということになる。

問題３　さいころを５０回投げるとき、１の目が出る回数をXとする。

（１）　Xがいくらのとき確率は最大になるか。

（２）　Xの平均値を求め、（１）で求めた値と比較せよ。

【解】

１の目が出る回数は２項分布に従う。

（１）　X=kのとき確率が最大とすると、

　　

よって、８回のとき最大。

（２）　平均値（期待値）は

　　

８は平均50/6に最も近い整数である。

（解答終了）

第５回 独立試行と二項分布

第５回　独立試行と二項分布

§１　独立試行の確率

１回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると、この試行をn回繰り返した場合、事象Aがr回起こる確率は

　　

である。

 

問１　袋の中に赤球１個、白球４個が入っている。この中から１個取り出して、もとに戻すことを３回繰り返す。この場合、赤の出る回数をXとして、Xの確率分布を求めよ。

【解】

取り出した球を戻すので、赤球の出る確率p=1/5、白球の出る確率q=4/5。

この問題の場合n=3。

Xの取りうる値は0、1、2、3。

X=rの時の確率をP(X=r)と書くことにすると、
　　

したがって、確率分布は次のようになる。

　　

 （解答終了）

この問題には出ていないけれど、赤球の出る回数rの期待値mは

　　

である。

§２　２項分布

変量Xが0、1、・・・・・・、nの値をとり、それらの値をとる確率が

　　

で与えられる確率分布を２項分布という。

その平均・期待値m、標準偏差σは

　　

である。

（２）、（３）を使えば、問１の平均値、標準偏差は

　　

と、複雑な計算をすることなく、すぐに求めることができる。

 

【（２）の証明】

　　

２項定理より

　　

xで微分すると、
　　

x=1を代入すると、

　　

p+q=1だから

　　

（証明終わり）

【（３）の証明】

　　

また、

　　

よって、
　　

ここで、①の両辺をxで微分すると、

　　

x=1を上式に代入すると、

　　

これを②に代入すると、

　　

（証明終わり）

問２　１０％の不合格品を含む同じ製品の一山がある。この中から任意に４個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の数Xで確率分布の表で示し、Xの平均値、標準偏差を求めよ。

【解】

X=rである確率は

　　

したがって、確率分布表は

　　

したがって、平均値=0.4、標準偏差=0.6

（解答終了）

問題　１回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、n回の試行の内、事象Aが最も起こりやすい回数を求めよ。

【解】

r=kのとき、確率が最大になるとすると、

　　

したがって、

　　

そこで、①より
　　

②に対しては、③のkをk+1と置き換えて、不等号の向きを入れ替えると、

　　

③と④より、

　　

を満たす整数kのとき、事象Aは最も起こりやすい。

（解答終了）

問３　１個のさいころを４０回投げるとき、１つの目が何回出る確率が最も高いか。

【解】

n=40、p=1/6。

（４）より
　　

よって、６回のとき確率は最大になる。

（解答終了）

第４回 確率分布２

第４回　確率分布２

分布関数と確率密度関数

変数Xが連続な値をとるとき、Xを連続型の確率変数といい、X<xである確率P(X<x)が

　　

で与えられるとき、F(x)を分布関数といい、その導関数

　　

をxの確率密度関数という。

　　

だから

　　

で、xがある範囲にに存在する確率は、y=f(x)のグラフのその範囲の面積と等しい。

変数Xの変域をa≦x≦bとし、確率密度関数をf(x)、平均をm、分散をσ²とすると、

　　

である。

　　

となり、

　　

と書くと、分散V(x)は

　　

になる。

 

問題１　確率変数Xの従う確率分布の密度関数f(x)が

　　

であるとき、次の問いに答えよ。

（１）　P(3≦X≦5)の値を求めよ。

（２）　P(7≦X)の値を求めよ。

（３）　Xの平均E(X)を求めよ。

（４）　Xの標準偏差D(X)を求めよ。

【解】

（解答終了）

問題２　あるバスの停留所の発車時刻は毎時０分、１５分、３５分の３回である。この発車時刻をまったく知らない人が、停留場へ来て待たされる時間の期待値を求めよ。

【解】

この人が停留所に来る時刻をx分とすると、待ち時間tは

　　

確率密度f(x)は一様分布と考えられるので、

　　

とすると、

　　

したがって待ち時間の平均・期待値E(ｔ)は
　　

（解答終了）

問題３　連続的な値をとる確率変数xがあって、その確率密度がAを定数として、

　　

とするとき、となるようなaの値を求めよ。

【解】
　　

したがって、

　　

a=0.2とすると、

　　

よって、a=0.2

（解答終了）

なのですが、a=0.2であることに気づく人はどれだけいるのだろう。

　　

試験会場で、これはチョット気づかないだろう。

条件より0<a<0.5で、

　　

だから、a=0.2と気づけということか。

とおくと、

　　

だから、ニュートン法

　　

を用い、x₀=0として計算すると、次のようになる。

計算の初期値としてx₀=0.232を選べば、１、２回計算すれば、a=0.2であることに気づくのではないか。

問題４　半径aの円Oの周上の１点Aから任意の方向に弦を引くとき、それらの弦の長さの平均を求めよ。

また、弦の長さが半径より大となる確率を求めよ。

【解】

円の中心Oを原点、Aを(−a,0)、Bを(a,0)とし、周上の点をPとする。

弦APとx軸のなす角をθ（−π/2≦θ≦θ/2）とすると、弦APの長さlは

　　

θを確率変数とし、一様分布

　　

と仮定すると、

　　

したがって、弦の長さの平均は
　　

AP>aになるのは、

　　

したがって、弦の長さが半径より大きい確率は

　　

（解答終了）

第３回 確率変数と確率分布

第３回　確率変数と確率分布

§１　確率変数と確率分布

１〜６の目をもつサイコロを振り、出た目をXとすると、Xの目が出る確率は、次のようになる。

　　

たとえば、X=1と、Xの値が決まれば、その確率

　　

と定められる。

より一般的に書くと、次のようになる。

　　

の値をとる変数Xに対して、の確率が与えられているとき、Xを確率変数という。また、確率変数Xとそれに対応する確率との対応関係を確率分布という。

確率変数のとる値がであるとし、それに対応する確率をとするとき、

　　

である。

 

問１　１枚の硬貨を２回投げるとき、表の出る回数を確率変数Xとして、Xの確率分布を求めよ。

【解】

（１回目の結果、２回目の結果）と書くことにすると、全事象は、（裏,裏）、（裏,表）、（表,裏）、（表,表）の４通り。

表が０回出るのは、（裏,裏）の１通り。

したがって、表が０回出る確率は

　　

表が１回出るのは、（裏,表）、（表,裏）の２通り。

したがって、表が１回出る確率は

　　

表が２回出るのは（表,表）の１通り。

したがって、表が２回出る確率は

　　

よって、確率分布は次の通り。

 　　

（解答終了）

問２　１０本のくじがあって、そのうち、２本が当たりくじとする。３本引いてあたった回数をXとするとき、X本当たる確率を求めよ。

【解】

　　

したがって、

　　

（解答終了）


§２　期待値（平均値）と分散、標準偏差

確率変数Xがの値をとり、それに対応する確率がであるとき、

　　

をE(x)や、mなどであらわし、確率変数の平均値、期待値という。

また、

　　

をやV(x)、σ²で表し、確率変数の分散という。

また、分散の正の平方根

　　

を標準偏差という。

問３　白球４個と赤球３個が入っている袋から２個の珠を同時に取り出すとき、その中に含まれる白球の個数の確率分布を求めよ。また、期待値を求めよ。

【解】
取りざされる白球の個数をk（=0,1,2）に対応する確率をとする。

　　

したがって、平均値mは

　　

（解答終了）

ちなみに、分散Vと標準偏差σは

　　

（解答終了）

問題　１と書いたカードが１枚、２と書いたカードが２枚、・・・・・・、nと書いたカードがn枚ある。この中から１枚取り出すとき、カードの示す数Xを確率変数とする。

（１）　X=kである確率を求めよ。

（２）　Xの平均値を求めよ。

【解】

（１）　カードの数は全部で

　　

したがって、は

　　

（２）　Xの平均値mは

　　

（解答終了）

追加問題