統計 回帰直線と相関係数、そして、決定係数R²

統計　回帰直線と相関係数、そして、決定係数

かりに次のようなn個の２次元の点で表されるデータがあるとする。

　　

このとき、回帰直線の傾きaとy切片は

　　

である。

回帰直線の方程式は

　　

ここではそれぞれx、yの平均であり、はxの標準偏差、共分散で、

　　

相関係数rは

　　

である。

この回帰直線によってxの値から予測されるyの予測値はは①を使って

　　

と計算される。

以上を説明したところで、次の等式を証明することにする。

　　

【証明】

②の左辺−②の右辺
　　

上の式に

　　

を代入すると
　　

よって、

　　

（証明終了）

　　

この式を右辺第１項

　　

は実際の「データと予測値の差」、残差の２乗を足しあわせたもの、残差平方和。要するに、予測のハズレ具合をあらわしている。

そこで、回帰直線の予測の正確さを表す次の量を定義すると

　　

となる。

つまり、相関係数の２乗は回帰直線（回帰曲線）の予測の精度を表す一つの尺度と考えることができ、８種類ある決定係数R²の一つである。また、決定係数は寄与率とも呼ばる。

右の表は「ねこ騙し数学」の訪問者数とページビューのデータである。

この散布図と回帰直線、相関係数、決定係数R²は次の通り。

参考までに、横軸に訪問者数、ページビューの実際の値と回帰直線の方程式からの予測値との差、つまり、残差を縦軸にとった、残差プロットも示しておく。

第１９回 抜き取り検査

第１９回　抜き取り検査

問題１　極めて多数の製品の山がある。この製品の山の全体としての合格、不合格を、全体の中から５個抜き取って検査し、その５個中の不良品が１個以下ならば合格、２個以上ならば不合格と定めることにする。

不良率（不良品の個数と全体の個数との比）がpである製品の山が検査に合格する確率をf(p)とするとき、次の問いに答えよ。

（１）　f(p)をpの式であらわせ。

（２）　f(p)はpの減少関数であることを証明せよ。

（３）　を求めよ。

（４）　f(p)の概形をかけ。

【解】

（１）　合格するのは、不良品が0個、１個の場合だから、合格する確率は

　　

（２）　f(p)を微分すると

　　

0<p<1でf'(p)<0だから、f(p)は単調減少する。

（３）　①にp=0、0.3、1を代入すると

　　

②にp=0、1を代入すると

　　

（４）　下図

（解答終了）

問題２　ある試験で、出題３問中２題以上を正解すれば合格するという。各問を正解する確率がいずれもpである生徒が、この試験を受けるとき、

（１）　この生徒が合格する確率f(p)を求めよ。

（２）　f(p)+f(1−p)およびf(0.2)の値を求めよ、f(p)のグラフをかけ。

（３）　f(p)≧0.9になるようなpの最小値p₀を小数点第２位まで求めよ。

【解】

（１）　合格するのは、正解数が２の場合と３の場合だから、合格する確率は

　　

（２）
　　　

f(p)を微分すると

　　

だから、0<p<1でf'(p)>0なのでf(p)は単調増加。

したがって、グラフは次のようになる。

（３）　グラフを見ると、p₀≒0.8っぽいね(^^ゞ

試しに計算してみると

　　

そこで、とおくと、

　　

h≒0だから、①のh²とh³の項は無視でき、①は次のように近似できる。

　　

よって、

　　

したがって、p₀=0.80

念のために

　　

（解答終了）

ちなみに、

問題３　きわめて多数の製品の一山をロットという。同一個数の製品からなるロットがきわめて多数であるとき、これらのロットから大きさ５の標本を抜き取り、その中の不良品個数が０こであれば標本はもとに戻してそのロットはそのまま出荷し、不良品個数が１個以上であればそのロットは全数検査にかけロット中の不良品を全部良品にかえて出荷する。もとのロットの不良率がすべてpであるとした場合、出荷される全ロット中に含まれる製品の不良率f(p)はどうなるか。次の問に答えなさい。

（１）　p=0、p=1のときf(p)の値はそれぞれどうか。

（２）　f(p)をpの式であらわせ。

（３）　f(p)のグラフをかき、f(p)を最大にするpの値を示しなさい。

【解】

（１）　p=0のとき、製品はすべて良品なのでf(p)=0である。

p=1のとき、ロット全体が不良品でそれがすべて良品に取りかえられるので、f(p)=1である。

（２）　出荷される製品に不良品が含まれるのは、抜き取った５つすべてが良品である場合。

抜き出された５つがすべて良品である確率は。

このときpの割合で不良品が混じっているので、求める確率は

　　

（３）　増減を調べるために、f(p)=p(1−p)⁵を微分すると

　　

したがって、p=1/6のときに極大かつ最大で、その値は

　　

また、

　　

したがって、f(p)はp=1/3で変曲点を持ち、

　　

よって、グラフは次のようになる。



（解答終了）

統計とは名ばかりで、実はどれも微分の問題であった(^^)

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統計 相関係数についてのお話

統計　相関係数についてのお話

例えば、下の表に示すXとYのデータがあるとする。

このデータをもとに下の表を作り、平均、（共）分散、標準偏差を求める。

なお、上の表でE(x)、E(y)は、xとyの平均（期待値）であり、

　　

である。
したがって、相関係数は

　　

あるいは、共分散とx、yの標準偏差を用いて

　　

である。

以上のことから、

回帰直線の傾きaは

　　

y切片bは

　　

したがって、回帰直線の方程式は

　　

である。

したがって、このxとyの間には正の相関がある。

もっともらしく聞こえることだろう。

しかし、この(x,y)の値はコンピュータ上で乱数を発生させたもので、このxとyには何の関係（無相関）もない。
この例のように、xとyは0〜10の値をとるまったくランダムな変数にもかかわらず、データの数が少ないと、相関係数を計算すると相関があるかのような結果が出ることがある。

なお、相関係数によって、相関の強さは、たとえば、次のように分類される。



これはおおよその目安であり、本によって分類の仕方が異なるので、あくまで一例である。

次に、データの数を１０組から２００組に増やすと（上の例は、最初の１０組を抜き出したもの）、散布図は右図のようになる。
この結果を見ると、xとyの間に相関がない、無相関であることがわかると思う。

母集団の相関係数ρ=0のときでも、（標本の）相関係数rを計算をすると、r=0.5程度の値が出ることがあるので、相関係数rを計算しただけで相関の有無を判断することは危険という話でした。

 

第１８回 統計のまとめ

第１８回　統計のまとめ

§１　確率変数と確率分布

（１）　確率変数と確率分布

変量Xのとる値、およびXのこれらの値が取りうる確率が定まっているとき、変量Xを確率変数といい、との対応関係を確率分布という。

（２）　確率変数の平均と標準偏差

①　平均（値）・期待値
　　

②　標準偏差σ

　　

問題１　つぼの中に５個の球がはいっている。そのうち、３球には１０点、他の２個の球には５０点の印がついてある。ツボの中から２個の球を同時に取り出す。その２個の球の和を表す確率変数をXとする。このとき

（１）　Xの確率分布を求めよ。

（２）　Xの平均（期待値）、および、分散を求めよ。

【解】

（１）　X=20の確率は

　　

X=60の確率は

　　

X=100の確率は
　　

（２）　平均値mは

　　

分散σ²は

　　

（解答終了）

分散を求めるために、

　　

を使うのならば、

　　

§２　二項分布

２項分布
　　

においては

　　

問題２　３枚の硬貨を投げる試行を５００回繰り返すとき、２枚が表、１枚が裏の出る回数をXとする。Xの確率分布の平均と標準偏差を求めよ。

３枚の硬貨を投げたとき、２枚が表、１枚が裏である確率pは
　　

したがって、

　　

２枚が表、１枚が裏の出る回数Xは二項分布に従うので、平均値mと標準偏差σは

　　

（解答終了）

§３　チェビシェフの定理

平均値m、標準偏差σの分布では
　　

 

問題３　ある学級の生徒数は４５０人で、英語の平均点は６４点、標準偏差は８点である。点数が４０点から８８点までのものは最低何人くらいいると判断できるか。

【解】

から

これにm=64、σ=8を代入すると、

　　

問題の条件より40≦x≦８８だから

　　

よって、チェビシェフの不等式より

　　

ゆえに、最低４００人。（解答終）

 

§４　確率密度関数と正規分布

（１）　確率密度関数

変量Xの変域をa≦X≦b、確率密度関数をf(x)とすると

　　

問題４　変量Xの変域が0≦X≦1で、確率密度関数が

のとき、

（１）　定数aの値を求めよ。

（２）　の値を求めよ。

（３）　Xの平均値mと分散σ²を求めよ。

【解】

（解答終了）

（２）　正規分布

確率変数Xの確率分布が

　　

であるとき、Xの確率分布は正規分布であるといい、であらわす。

特に、平均が0、標準偏差1の正規分布
　　

を標準正規分布という。

ここで、mはXの平均値、σは標準偏差である。

　　

で、区間が区間にうつるとき、
　　








問題５　ある学年の英語と数学の成績が右表であるとき、英語７６点、数学７３点とった生徒は、どちらの科目のほうが学年の中で上位であると考えられるか。

【解】

英語の標準測度

　　

数学の標準測度
　　

したがって、数学のほうが上位である。

（解答終了）

 

問題６　あるクラスの成績Xの平均点をm、標準偏差をσとし、Xはほぼ正規分布をなすとき、成績をm−1.5σ、m−0.5σ、m+0.5σ、m+1.5σを境として５つの階級にわかち、成績のよい順にA、B、C、D、Eをつけるとき、かくかいきゅうにはいる生徒の割合を％で示せ。また、この場合、成績の平均は71.4、標準偏差を8.2とすると、成績が８７点、７４点、５６点のものはどの階級に入るか。

【解】
　　

であるから、

　　

と置くと、
　　

となる。

したがって、
　　

また、

　　

したがって、各階級の人数の割合は次のようになる。

 

m=71.4、σ=8.2のとき、

　　

だから、８７点はA、７４点はC、５６点はE。

（解答終了）

 

§５　２項分布と正規分布の関係

二項分布に従う確率変数Xは、nが大きいとき正規分布に従うと考えられる。

したがって、

　　

は正規分布にしたがうと考えてよい。

問題７　さいころを１８００回投げるとき、１の目が出る回数Xが２７０から３３０回までの間にある確率を求めよ。

【解】
　　

Xは二項分布に従うから、Xの平均値mと標準偏差は

　　

ｎが大きいから、Xは正規分布に従うと考えて、標準化すると

　　

したがって、

　　

よって、求める確率は0.94。

（解答終了）

６　母平均の推定（区間）

大きさnの標本平均の分布は、母集団の平均（母平均）m、標準偏差の正規分布と考えられる。

したがって、

平均値mの信頼度９５％の信頼区間は

　　

平均値mの信頼度９９％の信頼区間は

　　

である。

ここで、は標本の平均である。

（σが未知のとき、標本の標準偏差sをσの代わりに用いる）

問題８　大きさ１００の標本の標本平均は56.3で標本標準偏差は10.2である。このとき、母平均mの信頼区間を９５％で求めよ。
【解】

問題の条件より、n=100、。

また、標本の大きさnが１００と大きいので母集団の標準偏差σは

　　

したがって、
　　

（解答終了）

 

§７　検定

「母平均がmである」という仮説を立てた場合、母集団から任意に抽出した大きさnの標本平均がならば、まず

　　

を求め、

①両側検定

　　優位水準９５％のとき、｜z｜≧1.96のとき仮説を棄却する。

　　優位水準９９％のとき、｜z｜≧2.58のとき仮説を棄却する。

②片側検定

　　優位水準９５％のとき、z≧1.65（右側検定）、z≦−1.65（左側検定）のとき仮説を棄却する。

　　優位水準９９％のとき、z≧2.33（右側検定）、z≦−2.33（左側検定）のとき仮説を棄却する。

問題９　A県のC市で高校３年生男子の中から１００名を任意抽出して平均身長を求めたところ169.8cmであり、またその標準偏差は5.8cmであった。

これは、A県における高校３年生男子の平均身長168.6cmよりも高いと判定されるか。

優位水準９５％と９９％の検定でそれぞれ判定せよ。

【解】

「C市の高校３年生男子の平均身長は168.6cmである」という仮説を立てる。

　　

優位水準９５％の片側検定では、z=2.07>1.65だから仮説は棄却されて、C市の高校３年生男子の平均身長が高いと判定される。

優位水準９９％の片側検定では、z=2.07<2.33だから仮説は棄却されず、C市の男子の平均身長が高いとは認められない。

（解答終了）

第１７回 相関の補足

第１７回　相関の補足

　　

の導出過程を詳しく説明する。

　　

（A）に関しては

　　

だから、（A)式は

　　

になる。

（B)に関しては

　　

さらに、

　　

を使うと、（B)は

　　

以上から、a、bに関する次の連立方程式が得られる。

　　

①の両辺をnで割ると、

　　

①’のを消去するためにとすると

　　

①’−②’

　　

また、

　　

だから、③は

　　

②にこの結果を代入すると、

　　

したがって、

　　

第１７回 相関

第１７回　相関

§１　相関と相関図

２種類のデータの相関を調べるために、横軸と縦軸を使ってデータをプロットしたものを散布図という。

２つの異なるデータの系列

　　

があり、それを座標であらわす。

が増加するとも増加する傾向があるとき、とは正の相関があるといい、逆に、が増加するとも現象する傾向があるとき、とは負の相関があるという。

§２　共分散と相関係数

(x,y)のn組のデータをとすると、２つの変数の間の関係を調べるものに共分散と相関係数があり、それぞれ、次のように定義される。
　　

ここで、は、それぞれ、xとyの標準偏差である。

問１　（１）式を証明せよ。

【解】
　　

（証明終わり）

仮に

　　

という関係があるとすると、
　　

だから、

　　

となる。

つまり、がに比例するとき、比例係数の正負に対応して相関係数は1、−1になる。

問２　下の表は１０人の生徒が数学と理科の小テスト（１０点満点）を受けたときの得点である。相関係数を求めよ。

【解】
数学の得点をx、理科の得点をyとする。

上の表から、数学の平均点、理科の平均点は

　　

分散は

　　

共分散は

　　

したがって、相関係数rは

　　

（解答終了）

また、相関係数は次の式で計算することができる。

　　

【別解】

上の表より、

　　

したがって、相関係数rは（３）より

　　

（解答終了）

 

§３　回帰直線

変量xの値が、変量yの値がであるとする。このとき、平面上の点

　　

に対してy軸方向の距離が最小となる直線（回帰直線）の方程式

　　

を考える。

もし回帰直線の方程式が求められているとすればの予測値をとすれば

　　

となる。

しかし、に対する実際の測定値はであり、２つの値の差を予測誤差といい、

　　

である。

ここで

　　

を最小にするようにa、bの値を定め、最適合直線を求めることにする。

　　

とおくと、極値をとる点では
　　

である。

したがって、
　　

となり、

　　

これをa、bについて解くと
　　

よって、回帰直線は

　　

問２の場合、だから

第１６回 平均値と比率の検定

第１６回　平均値と比率の検定

平均値の検定

母平均がmであるという仮説を立てた場合、母集団から抽出した大きさnの平均値がならば

　　

（ⅰ）優位水準５％のとき｜z｜≧1.96ならば仮説を棄却する

（ⅱ）優位水準１％のとき｜z｜≧2.58ならば仮説を棄却する

比率の検定

母比率がpであるという仮説を立てた場合、母集団から任意に抽出した大きさnの比率がならば

　　

を求めて、平均値と同様に検定する。

なお、母集団の標準偏差σが未知のとき、標本の標準偏差sをσの代わりに用いる。

 

問題１　ある工場で生産されている１ｋｇ入の砂糖を６４袋任意に抽出して調べた結果、平均値987.2g、標準偏差40.8gであった。この製品の重量表示は正しいといえるか。優位水準５％で検定せよ。

【解】

「表示は正しい」と仮定すると、だから

　　

よって、仮説は棄却される。

したがって、表示は正しくないと判断する。

（解答終了）

 

問題２　ある工場での過去の資料によれば、7mmのボルトの企画の標準偏差は0.3mmである。ある日の製品から無作為に抜き取った１００個の平均が7.06mmであった。この日の製品は平常と比べて普通のできといえるか。優位水準５％で検定せよ。

【解】

「普通のでき」という仮説を立てると、だから、

　　

よって、仮説は棄却される。

したがって、普通のできでなかった。

（解答終了）

 

問題３　A、B品種の鶏は同じ条件で、孵化してから５ヶ月で３ｋｇに成長する。この２つの品種から得られた雑種第１代から任意抽出した１００羽について、前と同じ飼育条件で調べて、負荷５ヶ月の生育状態は

　　

であった。生育のよい品種が得られたと判断してよいか。優位水準５％で推定せよ。

【解】

「もとの品種と同じ生育条件である」という仮説をたてると、

　　

だから、優位水準５％で仮説は捨てられない。

すなわち、生育のよい品種が得られたと断定できない。

（解答終了）

第１５回 （仮説）検定

第１５回　（仮説）検定

ある事柄が成り立つという仮説を立て、その仮説に基づいて計算した確率がある基準の確率（優位水準または危険域）より小さいとき、その仮説は間違っていると判断し、そうでないときはその仮説は正しいと判断する。

このような判断を検定という。

危険率、または、優位水準は、通常、５％や１％が採用される。

問題１　ある町で３０００人のうち１０００人が流感にかかった。しかし、毎日冷水まさつをしていた１０人の学生のうちで、流感にかかったものは２人だけであった。冷水まさつの効果があるといえるか。危険率５％で判定せよ。

【解】

「冷水まさつの効果はない」という仮説を立てると、１０人の学生のうち流感にかかったものが２人以下である確率は

　　

したがって、「冷水まさつの効果はない」という仮説は棄却できない。

つまり、「冷水まさつの効果はない」。

（解答終了）

 

問題２　Aは、これまで３題のうち２題くらいの割合でしか問題が解けなかったが、今回のテストでは、これまでの同程度の問題に対して、８題のうち７題を解くことができた。このことから、Aの実力が上がったと判断してよいか。

さらに、次回のテストにも、これと同程度以上の好成績を上げたとしたらどうか。

危険率５％で検定せよ。

【解】

「Aの実力が上がっていない」と仮定すると、問題を解く確率は2/3だから、８題のうち７題以上解く確率は

　　

だから、「Aの実力が上がっていない」という仮説は棄却できず、「Aの実力が上がった」と判断できない。

２回続けて８題のうち７題以上解ける確率は

　　

したがって、「Aの実力が上がった」と判断できる。

（解答終了）

１回だけだと、Aが８題のうち７題解くことができる確率は約0.2だから十分に起こりうる。
しかし、２回続けて起きるとなると、確率が約0.04と0.05よりも小さく、このようなことはまず起きない。だから、「Aの実力が上がっていない」という仮説は棄却されるというわけ。

問題３　ある政治上の意見で、有権者１０人を任意抽出して意見を求めたところ７人までが賛成であった。これによって有権者の過半数であるといえるか。

また、１０人のうち９人まで賛成であったとするとどうか。

優位水準５％で検定せよ。

【解】

「有権者の賛成反対が五分五分」と仮定すると、１０人のうち７人以上が賛成する確率は

　　

よって、「有権者の賛成反対が五分五分」という仮説は棄却できない。

したがって、「賛成が有権者の過半数」であるとは言えない。

同様に、１０人のうち９人が賛成である確率を求めると、

　　

よって、「有権者の賛成反対が五分五分」という仮説は棄却できる。

したがって、この場合、過半数であるといえる。

（解答終了）

ちなみに、８人の場合

　　

だから、「有権者の賛成反対が五分五分」という仮説は棄却できない。

 

問題４
（１）　さいころを４回振ったら１の目が３回出た。このさいころは１の目が出やすいと判断してよいか。危険率５％で検定せよ。

（２）　さいころを１８０回振ったら１の目が４８回出た。このさいころは１の目が出やすいと判断してよいか。危険率１％で検定せよ。

【解】

（１）　「さいころが正しい」と仮定すると、４回投げて１の目が３回以上出る確率は

　　

よって、「さいころの目が正しい」という仮説は棄却される。

つまり、１の目が出やすい。

（２）　「さいころが正しい」と仮定する。Xを１の目が出た回数とすると、Xは二項分布に従うので、平均値m、標準偏差σは

　　

nが大きいから、Xの分布は平均m=30、標準偏差σ=5の正規分布に近似できる。

そこで、

　　

とおくと、Zは標準正規分布N(0,5)に従う。

X=46とおくと

　　

したがって、

　　

よって、「さいころが正しい」という仮説は棄却される。

したがって、「１の目が出やすい」。

（解答終了）

Xが正規分布N(30,5²）に従うとすると、１の目が出る回数は信頼度９９％で

　　

出たとしても最大で約４３回。

４６回は多すぎるというわけ。

問題５　豌豆（えんどう）の交配で、黄色と緑色の豆のできる割合は、メンデルの法則に従えば３：１である。この実験で黄色が４２８個、緑色が１３２個得られたという。この結果はメンデルの法則に一致しているといえるか。優位水準５％で検定せよ。

【解】

メンデルの法則に従うという仮説を立てると、黄色のえんどう豆の個数Xは二項分布に従い、平均値mと標準偏差σは

　　

したがって、

　　

したがって、優位水準５％で「メンデルの法則に従う」という仮説は捨てられない。

すなわち、「メンデルの法則に従う」と考えられる。

（解答終了）

第１４回 推定の問題

第１４回　推定の問題

（１）　母平均の推定

任意に抜き取ったn個の標本平均を、標準偏差をsとすると、母平均mは、

９５％の確率で

　　

９９％の確率で

　　

である。

（２）　母比率（母集団の比率）の推定

母集団の比率をp、標本の大きさをn、比率をとすると、９５％の信頼度で

　　

である。

問題１　ある工場の電球の寿命の標準偏差が１００時間であることが知られている。２５個の電球の平均寿命が１８００時間のとき、次の問いに答えよ。

（１）　母集団の電球の平均寿命を９５％の信頼度で推定せよ。

（２）　母集団の電球の平均寿命が９９％の信頼度で推定しようとすると信頼区間の幅を信頼度９５％と同程度におさえるためには、何個以上の電球の平均寿命を求めなければならないか。

【解】

（１）　だから、

　　

（２）　求める個数をn個とすると、９９％の信頼区間は

　　

である。

したがって、

　　

よって、４４個以上。

（解答終了）

問題２　ある県の高校入試の数学の成績は、予備調査の結果から標準偏差１９点と予想されている。この予想を正しいものとし、母平均の信頼度を９５％で推定するとき、次の問いに答えよ。

（１）　任意抽出した１００人の平均点をとするとき、母平均mをとしたときの誤差はおよそどれくらいか。

（２）　誤差を２点以内とするには、抽出する標本の大きさnをどれくらいにしたらよいか。

【解】

（１）　９５％の確率で

　　

したがって、2.94点

（２）

　　

したがって、２１７人以上。

（解答終了）

問題３　平均m、分散４の正規母集団から大きさnの任意標本を抽出して、その標本平均をmとするとき、次の問いに答えよ。

（１）　n=100、のとき、信頼度９５％でmの信頼区間をと求めよ。

（２） となる確率が９５％以上にあるようにしたい。nをどのようにすればよいか。

【解】

（１）　分散が４だから、標準偏差s=√4=2。

したがって、

　　

（２）

　　

s=2だから

　　

よって、nを６２以上にすればよい。

（解答終了）

問題４　ある金属の棒の長さを１０回測定して次の結果を得た（単位ｃｍ）。
24.3,24.4, 23.9, 24.5, 24.0, 24.2, 24.1, 24.4, 24.0, 24.2

９５％の信頼度で棒の真の長さを推定せよ。

【解】

棒の真の長さは、棒の長さを非常に多い回数で測定した値の平均値mと考える。

右の表から

　　

よって、

　　

したがって、24.2±0.12(cm)

（解答終了）

標準偏差sを求めるのに、公式

　　

を使った。

第１３回 推定

第１３回　推定

§１　母平均の推定

標本平均を用いると、標本調査から母集団の平均値を推定することができる。

いま、母集団からn個の標本を抽出し、標本平均、標本標準偏差sを得たとする。

母集団の平均をm、標準偏差をσとすると、標本平均の分布は、平均m、標準偏差の正規分布と考えてよいから、

　　

は、標準正規分布N(0,1)に従い、正規分布表から

　　

である。

したがって、９５％の確実性で

　　　　

nが大きければ、母集団の標準偏差σは標本標準偏差sに近いと考えてよい。

したがって、
　　　　

このとき、上式が成立する確率は0.95だから、これを信頼度９５％の推定といい、mが取りうる範囲を信頼区間といい、確率９５％を信頼度という。

同様に、９９％の信頼区間は

　　

である。

 

問１　全国の中学３年男子から２０００人を抽出し、その身長を調べたところ、平均値が161.5cm、標準偏差が6.5cmであった。信頼度９５％で全国の中学３年男子の身長を推定せよ。

【解】

母集団の平均値をmとする。標本平均、s=6.5(cm)、n=2000だから

　　

よって、161.5±0.28cmである。

（解答終了）

問２　ある都市の１６歳の男子の中からまったく無作為に２００人を抽出して、身長に関する下表のような度数分布を得た。これによって、この都市の１６歳の男子の平均身長を信頼度９５％で推定せよ。

（解答）

上の表から標本平均、標本標準偏差s=√36=6(cm)。

n=200だから
　　

ここで、

　　

だから、165.5±0.8cm（164.7〜166.3cm）

（解答終了）

 

問３　ある市の高校３年生４万人に数学のテストを行った。この成績を母集団として、大きさ９００の標本を選んだところ、その平均値が58.6点、標準偏差が12.0点であった。母集団の平均値を95％の信頼度で推定せよ。

【解】

標本平均、標本標準偏差s=12.0、標本の大きさn=900だから、母集団の平均値をmとすると、

　　

だから、57.8〜59.4点。

（解答終了）

問４　過去の資料によると、１７歳男子の分布は、標準偏差5.8kgであることが知られている。９５％の信頼度で１７歳男子の平均体重を0.1kgの精度で求めるためには、何人の任意標本を選んだらよいか。

【解】

９５％の信頼度の誤差は

　　

だから、

　　

になるように標本の大きさnを定めればよい。

よって、

　　

したがって、約13,000人。

（解答終了）

n≧113.68²ではなく、n≧114²=12996としたほうがいいのかもしれないが・・・。

§２　母比率（母集団比率）の推定

工場で作られた製品の不良率を標本調査することによって９５％の信頼度で推定すると場合について考えることにする。

母集団の製品全体の不良率をp、大きさnの標本中に含まれる不良品の個数を確率変数Xとすると、Xの分布は平均np、標準偏差の２項分布となる。

nが大きいとき、二項分布B(n,p)は正規分布とみなすことができるので、不良品の個数Xは、信頼度９５％をもって

　　

となる。

また、標本の不良率は

　　

だから、
　　

nが大きいとき、根号内のpはに代用できるので、

　　

となる。

以上のことをまとめると、次のようになる。

比率の推定

大きさnの標本中に、条件Aを満たすものがr個あれば、標本比率

　　

に対して、母集団における条件Aを満たすものの比率は

　　

の信頼区間にある。
なお、信頼度９９％ならば

　　

である。

問１　ある工場で、製品の中から任意に２００個を抽出して調べたところ、３０この不良品があった。製品全体の不良率pを、信頼度９５％で区間推定せよ。

【解】

　　

よって、信頼度９５％で

　　

（解答終了）

 

問２　ある新聞の世論調査で、有権者１０００人についてある政党を支持するか否かについて調べたところ、そのうちの５７６人が支持者であった。有権者全体のうちその政党を支持するものの割合を、信頼度９９％で推定せよ。

【解】
　　

（解答終了）

信頼度９５％ならば