第３７回 円柱座標、極座標の勾配、発散、回転

第３７回　円柱座標、極座標の勾配、発散、回転

前回、直交曲線座標の勾配、発散、回転を求めた。その結果は以下の通り。

勾配

　　

発散

　　

ラプラシアン

　　

回転

　　

　　

ここで、h₁、h₂、h₃は

　　

ということで、よく使われる円柱座標、球（面）座標、すなわち、３次元の極座標の勾配、発散などの表示を求めることにする。

円柱座標の場合

円柱座標とは、以下のようなもの。

　　

円柱座標のh₁、h₂、h₃は第３４回の問題１で求めた。その結果は、h₁=1、h₂=r、h₃=1。

だから、円柱座標での勾配は
　　

成分で書くと、

　　

になる。

発散は、

　　

ラプラシアンは

　　

回転は

　　

３次元の極座標（球座標）の場合

３次元の極座標は次のようなもの。

　　

そして、このときh₁=1、h₂=r、h₃=rsinθになる。

勾配

　　

発散

　　

ラプラシアン

　　

回転

　　

第３６回 直交曲線座標における勾配、発散、回転

第３６回　直交曲線座標における勾配、発散、回転

勾配

u、v、wの関数をφ(u,v,w)とする。このとき、φの発散は次のようになる。

　　

u=u(x,y,z)、v=v(x,y,z)、w=w(x,y,z)であるとすると、合成関数の偏微分の公式より
　　

この結果を①に代入して整理すると、

　　

になる。

また、

　　

という関係があるので、
　　

となる。

発散

A(u,v,w)のu成分、v成分、w成分をそれぞれとすると、

　　

となる。

ゆえに、

　　

で、上の式の第１項に注目するのだけれど、ベクトルの微分には次のような公式がある。

　　∇・(φa)=∇φ・a+φ∇・a

また、u=v×w=(h₂∇v)×(h₃∇w)=h₂h₃∇v×∇wだから

　　

で、さらに上の式の右辺第１項は
　　

右辺第２項は

　　

ゆえに

　　

についても同様に

　　

となる。

よって、

　　

となる。

さらにA=∇φのとき

　　

なので、
　　

となる。

回転

　　

だから、

　　

右辺第１項は

　　

∇×(∇u)=0だから
　　

同様に

　　

よって、

　　

ということで、

　　

となる。

以上のことより、結果をまとめると、
勾配
　　
発散
　　
ラプラシアン
　　
回転
　　
　　

第３５回 曲線座標の続き２

第３５回　曲線座標の続き２

曲面S上の点rは２変数uとvを用いて

　　r=r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

とあらわすことができる。

そして、vを固定しuだけを変化させれば曲面S上で一つの曲線を描き、これをu曲線という。同様にuを固定しvだけを変化させればv曲線が得られる。

また、
　　
はそれぞれu曲線の接線ベクトル、v曲線の接線ベクトルである。

u、vをそれぞれu曲線、v曲線の単位接線ベクトルは

　　

となる。そして、この曲面Sの単位法線ベクトルwは

　　

uとvが直交する時は|u×v|は辺の長さが１の正方形の面積で1になるから

　　w=u×v

になる。

u曲線、v曲線に直交し、こうして得られたwと向きが同じ曲線をw曲線とする。
第３３回でやったけれど、u、v、wが直交するとき、線元素は
　　

ただし

　　

となるという話をした。

上の式を見ればわかるけれど、

　　

だから、

　　

また、

　　

はw曲線の接線ベクトルであり

　　

となる。

さらに、ベクトル解析の番外編で述べたグロスマン記号なるものを使うと、

　　

で、[uvw]は辺の長さ１の立方体の体積だから１だにゃ。

つまり、

　　

になるにゃ。

また、３３回で

　　

になるということをやったにゃ。

だから、

　　

で、[uvw]=1だから

　　

そして、さらに

　　

という関係が得られる。

問題　u=h₂h₃∇v×∇w、v=h₃h₁∇w×∇u、w=h₁h₂∇u×∇vであることを示せ。

【解】

　　

同様に、v=h₃h₁∇w×∇u、w=h₁h₂∇u×∇vとなる。

なにか書かないといけないから、書いただけだにゃ。

でも、こちらの方が第３３回のu曲線、v曲線、w曲線の話よりはわかりやすいんじゃないか。３３回で書いたu曲線、v曲線、w曲線の話は何を書いてあるのか、非常に分かりづらいから。

第３４回 曲線座標の続き

第３４回　曲線座標の続き

前回、曲線座標の線元素dsは

　　

であること、ただし、

　　

さらに、曲線座標の単位ベクトルu、v、wが

　　

になるというところまでやったにゃ。

で、曲線座標の代表的なものである球座表のh₁、h₂、h₃を求めることにするにゃ。

球座表、３次元の極座標とは次のようなもの。

　　

だから、

　　　　

となる。

問題１　円柱座標のh₁、h₂、h₃を求めよ。

【解】

円柱座標は

　　

だから、

　　

zはそのままだから計算をする必要はないケロ！！

問題２　店の位置ベクトルをrとすれば

　　

である。

【解】

uと∂r/∂uは同じ向きをもち、|u|=1、|∂r/∂u|=h₁なので、

　　

同様に、

　　

そして、今回のメインである次の問題を解くことにする。

問題３　ベクトルAのu、v、wの成分と直交軸に関するには次の関係があることを示せ。

　　

いきなり解いてもいいのだけれど、「急がば廻れ」ということで遠回りする。

前回、方向余弦というものをやった。で、uの方向余弦をl₁、m₁、n₁、vの方向余弦をl₂、m₂、n₂、wの方向余弦をl₃、m₃、n₃とする。そうすると、

　　

という関係が成立する。

　　

Aとuの内積をとると、u、v、wはそれぞれが直交するから、u・v=v・w=w・u=0で、

　　

同様に、vとwの内積をとると、

　　

つまり、

　　

方向余弦が与えられているとき、上の式が変換公式になる。

【解】

　　

だから、

　　

同様に、

　　

となり、

　　

となる。

ちなみに、

　　

ね。同様に、

　　

ベクトル解析の番外編 方向余弦

ベクトル解析の番外編　方向余弦

原点を始点とし点Aを終点とするベクトルを考えるケロ。

　　

さらに、とx軸、y軸、z軸とのなす角をα、β、γとする。

で、

　　

を方向余弦と呼ぶ。

ちなみに、分母は線分OAの長さ。

三平方の定理から

　　

となる。

また、

　　

となるので、方向余弦には

　　

という関係がある。

ベクトルの大きさと方向余弦を使って

　　

とあらわすことができる。

問題１　A(1,2,1)のとき、の方向余弦を求めよ。

【解】

　　

よって、方向余弦は

　　

になる。

問題２　点Aの位置ベクトルは、x軸とπ/4、y軸とπ/3、z軸とπ/6の角をなし、大きさは６である。Aの座標を求めよ。

【解】

　　

これで終わるのはさすがに気が引けるにゃ。

ということで、ベクトルの３重積というものを少し話すにゃ。

ベクトルの３重積というのは、たとえば、

　　a・(b×c)

や

　　a×(b×c)

というもの。

後ろのa×(b×c)はベクトル３重積と呼ばれる。a×(b×c)は結合法則、つまり、(a×b)×cは成り立たないケロよ。で、これは次のようになる。

　　a×(b×c)=b(a・c)−c(a・b)

これは理屈ではなく、ひたすら機械的に外積の計算をすると、こうなる。

そして、これを知っていると、ハミルトン演算子∇

　　

とあたかもベクトルのようにみなし、a=∇、b=∇とすると

　　∇×(∇×c)=∇(∇・c)−c(∇・∇)=∇(∇・c)−(∇・∇)c

というベクトルの公式を導けるのであった。

また、a・(b×c)はスカラーになるのでスカラー３重積という。
これは

　　

になるという話はした。
で、特にこれを[abc]といったふうに書くことがある。これをグラスマンの記号という。

行列式の勉強をすると分かるのだけれど、[abc]=[bca]=[cab]という関係があるのであった。

第３３回 曲線座標

第３３回　曲線座標

直交座標x、y、zの関数
　　u=F(x,y,z), v=G(x,y,z), w=H(x,y,z)   ①

があるとする。このとき、ヤコビアン

　　

が０でなければ、①はx,y,zについて解くことができ、

　　x=f(u,v,w), y=g(u,v,w), z=h(u,v,w)

が得られる。そして、x,y,zの値の一組にはu,v,wの値の一組が対応し、逆にu,v,wの値の一組に対してx,y,zの値の一組が対応するから、u,v,wの組を座標と考えることができ、これを曲線座標という。

いま仮にc₁を定数とし、u=c₁とすると、F(x,y,z)=c₁は一つの曲面をえがく。そして、c₁を変化させれば、曲面群が得られる。同様に、v=c₂、w=c₃とすれば、2種類の曲面群が得られ、この3つの曲面群を座標曲面という。

たとえば、

　　

だとする。u=c₁とすると、

　　

となり、原点を中心とする半径c₁の球面がその曲面になる。そして、c₁の値を変化させれば、一つの曲面群が得られる。

そう言った話。

２つの座標曲面v=c₂とw=c₃の交わりは曲線でこれをu曲線という。u曲線に沿っては、v=c₂、w=c₃なので、vとwは一定で、uの値だけが変化する。同様にして、w=c₃とu=c₁の交わりをv曲線、u=c₁とv=c₂の交わりをw曲線という。

任意の点をPとすれば、Pを通るu曲線、v曲線、w曲線が一つずつ存在する。Pを始点とし、u曲線に接し、uの増加する向きに向かう単位ベクトルをuとする。同様に、v曲線、w曲線に接し、u、vの増加する向きに向かう単位ベクトルをv、wとする。

そうすると、下の図のような座標系が得られる。

で、各点で３つのベクトル、u、v、wが互いに直交するものとする。この時、このとき、u、v、wを直交曲線座標という。なお、u、v、wは右手系をなすものとする。

点(x,y,z)の位置ベクトルをrとすれば、線元素dsは

　　

曲線座標では、drはu、v、wの関数だから

　　

そして、∂r/∂u、∂r/∂v、∂r/∂wはu、v、wと同じ向きのベクトルであるから、それぞれが互いに直交する。

　　

よって、

　　

だから、

　　

と置くと、

　　

となる。

したがって、u曲線、v曲線,w曲線の弧長をそれぞれs₁、s₂、s₃とすると

　　

となる。
直交曲線座標では、uは曲面u=c₁に垂直で、uの増加する向きに向かう単位ベクトルだから

　　

∇v、∇wについても同様だから

　　

したがって、u=h₁∇u、v=h₂∇v、w=h₃∇wになる。

ベクトルAを、その始点Pにおけるu、v、wの方向に分解して、

　　

であるとする。このとき、をそれぞれ曲線座標u、v、wに関するAの成分、または、Aのu成分、v成分、w成分という。

このu、v、wは直交座標のi、j、kとは異なり、始点Pの位置によって向きが変わるにゃ。

例として、３次元の極座標をあげることにするにゃ。

第３２回 ベクトルの積分定理のプチ演習

第３２回　ベクトルの積分定理のプチ演習

これまでにベクトルの積分の定理として

ガウスの発散定理

そして、

ストークスの定理

を学んできた。

Vは曲面Sに囲まれる領域、Sは閉曲線Cに囲まれた領域。

この２つを使ったプチ演習をやってみることにするにゃ。

問題１　閉曲線にそって

【解】

r=xi+yj+zkとする。

　　

で、ストークスの定理より

　　

【別解】

　　

問題にはないけれど、∇×r=0だからrは

　　

というポテンシャルをもつ。

φの勾配∇φを求めると

　　

となることから、φがrのポテンシャルであることが確かめられる。

問題２　閉曲線に沿って

　　

【解】

　　∇(φψ)=(∇φ)ψ+φ(∇ψ)=ψ(∇φ)+φ(∇ψ)

よって

　　

ストークスの定理より

　　

なぜならば、∇×{∇(φψ)}=0だから。

　　

【別解】

　　

よって、チョメチョメ。

問題３　A=2xyi+(x²−y²)jのとき、xy平面上で、原点から点(1,1,0)に至る曲線x=y²に沿ってのAの線積分を求めよ。

【解】

曲線C上の点をr=t²i+tj（0≦t≦1）とすると、dr=(dx/dt)i+(dy/dt)j=(2ti+j)dtになる。

よって、

　　

定義に従えば、こうなるのだけれど、この場合∇×A=0になっているので、実はこの線積分の値は経路によらない。

でだ、C₁：x=y=t（0≦t≦1）とすると、C₁上ではx²−y²=t²−t²=0になるので、

　　

となる。

 

問題４　曲面Sで囲まれた領域の体積をVとすると

　　

【解答】

　　

だケロ。

で、問題の右辺にガウスの発散定理を使うと

　　

問題５　A=axi+byj+czk（a、b、cは定数）のとき、原点を中心とする半径１の球面上のAの面積分を求めよ。

【解】

ガウスの発散定理を使ってくださいと言わんばかりの問題だケロ。

　　
問題４と問題５のは曲面Sで囲まれた領域の体積。問題５の場合半径１の球の体積だから、この値は4π/3になる。

もうすこし本格的な問題を解きたいと思う人は次の問題に挑戦してください。

宿題　座標平面および３平面x=2、y=2、z=2で囲まれた立方体の表面をSとするとき、

S上のA=x²i+xyj+zkの面積分を求めよ。

（答）32

第３１回 ソレノイド的なベクトル場

第３１回　ソレノイド的なベクトル場

ある領域で恒等的にdiv A=∇・A=0となるベクトル場を回転的、またはソレノイド的（管状、湧き出しなし）であるという。

領域Dで連続なベクトル場Aが他のベクトル場pによって

　A=rot p=∇×p

とあらわされるとき、Aはベクトルポテンシャルをもつといい、pをAのベクトルポテンシャルという。

A=∇×pのとき、∇・A=∇・(∇×p)=0になるので、ベクトルポテンシャルをもつベクトル場はソレノイド的になる。

単連結領域において、A=∇×p₁=∇×p₂とあらわさせるとする。このとき、恒等的に∇×(p₁−p₂)=0が成り立つので、前回の定理よりp₁−p₂はスカラーポテンシャルφをもち、p₁−p₂=∇φとなる。

つまり、pがベクトル場Aの一つのベクトルポテンシャルであるとき、p+∇φもベクトルポテンシャルになる。

A=∇×pとすると、∇×(∇φ)=0だから、

　　∇×(p+∇φ)=∇×p+∇×(∇φ)=∇×p=A

となるので、p+∇φもAのベクトルポテンシャルになっている。

では、単連結領域において非回転的であるとき、つまり、∇×A=0であるときスカラーポテンシャルφが存在するように、回転的なとき、つまり、∇・A=0のときベクトルポテンシャルpは存在するのかという問いに答えるのが、次の定理。

定理　全空間において連続な偏導関数をもつベクトル場Aがソレノイド的であるとき、A=rot p=∇×pとなるベクトルポテンシャルが存在する。

【証明】

任意の１点(x₀,y₀,z₀)を選びベクトルポテンシャルを次のように定義する。

　　

この回転を計算すると、∇・p=0だから

　　

となる。

同様に、

　　

となる。したがって、このpはAのベクトルポテンシャルである。

（証明終）

上の証明は何を書いているからわからないと思う。

　　

は

　　

という連立偏微分方程式の解の一つ。

として、②と③を解くと

　　

で、これを①に代入すると

　　

となって、④より

　　

だから、

　　

で、φ=0とすると

　　

となり、
　　

となる。

問題　ベクトル場A=xyi−zxj+(x²+y²)kが回転的であることを示し、かつ、そのベクトルポテンシャルを求めよ。

【解】
　　

よって、回転的である。

混乱しないと思うから、ξをx、ηをxとするけれど、
　　

を、x₀=0として使うにゃ。

　　

第３０回 非回転ベクトル

第３０回　非回転ベクトル

ストークスの定理

閉曲線Cで囲まれた領域Sで

である。

前回やったストークスの定理が今回の話の基本になります。

では、今回の話。

領域Dにおいて連続なベクトル場Aがスカラー場φによってA=grad φ=∇φであらわされるとき、Aはポテンシャルをもつといい、φをスカラーポテンシャルまたはポテンシャルという。

単連結

空間領域D内の任意の閉曲線を、D内で連続的に変形して１点に縮められるとき、Dを単連結という。たとえば、全空間、球面の内部、全空間から有限個の点を除いた領域などは単連結である。これに対して、全空間から１直線を取り除いた領域は単連結でない。

 

非回転なベクトル場

ある領域で恒等的にrot A=∇×A=0となるベクトル場Aを非回転的（渦なし）であるという。

ポテンシャルφをもつベクトル場Aは∇×A=∇×(∇φ)=0になるので、非回転なベクトル場だケロ。

単連結領域DでAは非回転なベクトル場とする。さらに、D内の任意の閉曲線をCをすると、閉曲線Cで囲まれた領域Sに対してストークスの定理が成り立ち

　　

となる。

このことは、領域D内に任意の２点P、Qをとると、PからQへの曲線に沿っての線積分の値は曲線のとり方によらず一定で、始点Pと終点Qによって定まることを意味する。
次の図のようにAとBを異なる２本の曲線で結ぶ。

そうすると、C=C₁+(−C₂)は閉曲線になり、ストークスの定理より

　　

となり、PとQを結ぶ曲線の経路によらないことがわかる。

つまり、非回転的なベクトル場では、線積分の値は積分経路によらず始点Pと終点Qで定まる。だから、道筋を示すことなく、

　　

と書くことができる。

点Pを固定し、点P、Qの位置ベクトルをr₀、rとし

　　

は、Dで定義されたスカラー場となる。

このφはベクトル場Aのポテンシャルなのだけれど、このことを次に証明するにゃ。

次の図のようにP₀を固定し、Pのごく近くの点をQとする。


そうすると、

　　

線分PP'に沿ってPからP'に至るとすると、dr=idxだから

　　

平均値の定理を使うと

　　

となり、

　　

同様に、

　　

となり、

　　A=∇φ

となり、φはAのポテンシャルである。

ここで、

　　

ということで、

単連結な領域Dで

1. ベクトル場Aがポテンシャルφをもつ。すなわち、A=∇φ

2. ベクトル場Aが非回転的である。すなわち、恒等的に∇×A=0

3. 任意の閉曲線Cに対してである

ことは同値、同じことだということになる。

さらに、定理を。

定理

単連結領域において連続な偏導関数をもつ非回転なベクトル場はポテンシャルをもち、そのスカラーポテンシャルは定数を除いて一意的に定まる。

【証明】

前半については既に証明しているので、一意性を証明する。

A=∇φ₁=∇φ₂とすると、∇(φ₁−φ₂)=0。よって、φ₁−φ₂=定数となる。

（証明終）

 

問題　A=(2x+yz,zx,xy)とするとき、次の問いに答えよ。

（１）Aが非回転であることを示せ。

（２）Aのポテンシャルを求めよ。

（３）Cを(1,0,−1)から(2,−1,3)に至る曲線とするとき、次の値を求めよ。

　　
【解】

（１）

　　

（２）∇×A=0なので、Aはポテンシャルをもつ。

　　

で、
　　

このことから、fはzだけの関数であることがわかり、これをあらためてg(z)とする。

　　

ということで、

　　

となる。

（３）Aはポテンシャルを持つので、

　　

(1,0,−1)を(2,−1,3)を結ぶ線分は、だから、(x,y,z)=(t+1,−t,4t−1)（0≦t≦1)として、線積分をしても良い。計算結果は一致するはずだにゃ。

第２９回 ストークスの定理

第２９回　ストークスの定理

向きづけられた曲面Sと境界の曲線Cを考える。境界Cの向き付けは下の図のようにする。

ストークスの定理

曲面上の閉曲線Cで囲まれた領域Sにおいて、ベクトル場Aが連続な導関数をもつならば、

である。

A=Pi+Qj+Rkとし、成分で書けば

である。

この定理の証明は長いんで書きたくないのだけれど・・・。

【証明】

曲面Sが

 　　r=r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

とパラメータ表示され、曲線座標(u,v)に対する単位法線ベクトルはSの向きづけによるnと一致しているものとする。

　　

平面におけるグリーンの定理より

　　

（証明終）
上の証明に出てくる
　　

はヤコビアン。

さらに、２行目から３行目の変形の過程で、合成関数の偏微分
　　

を使っていて、このPをQやRに置き換えると、∂Q/∂u、∂Q/∂v、∂R/∂u、∂R/∂vが得られ、さらに式を整理すると３行目のになる。

これとは違う証明の方が一般的だけれど証明や説明がやたらと長いし、上の証明のスッキリしていてわかりやすいのではないだろうか。

どちらの証明であっても、何を書いているか分からないという点では同じと思うにゃ。

ガウスの発散定理と今回のストークスの定理に関しては結果が大事。

問題１　下の図に示す三角形PQRの辺をP→Q→R→Pと回る閉曲線をCとする。このとき、A=xyi+yzj+zxkの線積分

　　

の値を次の２つの方法で求めよ。

（１）直接、線積分を計算する。

（２）ストークスの定理を使う。

【解】

（１）PQは、x=1–y（0≦y≦1）と表せ、PQではz=0だからA=xyi。

よって、

　　

同様に、

　　

よって、

　　

（２）Sの単位法線ベクトルn=(1/√3,1/√3,1/√3）。

　　

よって、

　　

となる。

また、S上ではx+y+z=1なので、

　　

で、

　　

なので、

　　

は△PQRの面積。△PQRは１辺が√2の正三角形だから、

　　

となる。

まぁ、z=1–x–yとし、重積分を使ってSの表面積、つまり、△PQRの面積を

　　

としてもいいけれど、これはさすがに大袈裟というもの。

なお、DはD={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1–x}。

問題２　閉曲線Cで囲まれた曲面Sについて、スカラー関数をφ(x,y,z)とすれば、

　　

であることを示せ。

【解】

A=∇φとし、ストークスの定理を使うと

　　

となる。

　　∇×∇φ=0

だから、

　　

問題３　任意の閉曲線Cで囲まれた曲面Sについて

　　

が成り立つとき、

　　V=∇×A

である。（ストークスの定理の逆）

【解】

ストークスの定理から

　　

よって、

　　

で、任意の閉曲面であるから、V–∇×A=0、すなわち、V=∇×Aである。

上の問題２、３の内容は理論的にとても重要なものだケロ。