マルサスの人口論のことなど

マルサスの人口論のことなど

 

 

１８世紀の経済学者マルサスは、『人口論』の中で、「（制限しなければ）人口は幾何級数的に増加するが、（食料などの）生活資源は算術級数的にしか増加しない」と述べたそうだ。

ここに出る「幾何級数的に」という言葉は、「等比級数的」にいう意味。

 

このマルサスのモデルは、「１回分裂すると細胞の数が２倍になる」という細胞分裂を考えるとわかりやすい。

 

１回目の細胞分裂で１個の細胞は２倍の２個に、２度目の分列で２個の細胞がその２倍の２×２=２²=４個に、３度目の分列で２²個の細胞がその２倍の２×２²=３³=８個に。以下同様に増え続け、ｎ回目の分列では個になる。

細胞の数が１個でなく、個だった場合は、一回目の分列での２倍の個に、２回目の分列ではの２倍の個に、３回目の分列では個の２倍の個に、そして２回目の分列で個になる。

n回目の細胞分裂の細胞の個数をNで表すことにすると

　　

 

細胞分裂は、ある一定の時間間隔τ置きに、１回、２回、３回、・・・、n回と時間tに関して飛び飛びに起きるけれど、これを拡張し、時間tに関して細胞分裂が連続的に起きると考えれば、時間tのとき回分裂していることになるので、

　　

これをtで直接微分してもいいけれど、ネイピア数e=2.71828・・・を用いて、この式をさらに次のように書き換える。

　　

ここで、はネイピア数を底にした自然対数。

さらに、

　　

とおくと、

　　

これをtで微分すると

　　

この（３）式がマルサスのモデルを表す微分方程式で、（２）はt=0のときを満たす（３）の解である。

したがって、

マルサスのモデルは、

人口の時間あたりの増加の割合は、人口Nに比例する。その比例定数をrとすると、

　　

と言い換えることができる。

 

マルサスは、「ヒトが生きていく上に必要な食料などによって人口増加は抑制される」といった趣旨の主張もしているらしいので、実際、人口が無限に増加することはできないのだけれど、マルサス・モデルと呼ばれるものは、このようなモデルをいう。

 

ところで、比例定数rは時間の単位の逆数を単位に持っているので（時間の単位が”年”だったら、比例対数の単位は”１/年”）、

　　

と物理的な単位を持たない無次元の時間を定義し、さらに、

　　

とすると微分方程式（３）は

　　

とさらに簡単に表わせ、この解（２）は

　　

と非常にシンプルなものになるけれど…。

 

ちなみに、

　　

とすると、たとえば、放射性同位体の崩壊を表す微分方程式になる。

t=0における放射性同位体の原子の個数をN₀とすると、時刻tにおける放射性同位体の原子の個数は

　　

である。

そして、このτを放射性物質の半減期という。

 

 

マルサス・モデルとは異なるが、ランチェスターの（第２次）法則と呼ばれるものがある。

 

自軍の（残存）兵士数をx、敵軍の（残存）兵数をyとすると、ランチェスターの法則は、次のような微分方程式で表すことができる。

　　

この微分方程式（６）の意味するところは、「自軍の時間あたりの兵士損失数は敵軍の数に、また、敵軍の時間あたりの兵士損失数は自軍の兵数数に比例する」で、α、βはその比例係数。

（６）式の第１式を第２式で割ると

　　

特に、α=βのとき、

　　

 

 

もし、同等の力を持つネムネコ軍１００とddt³軍２００が全面衝突して戦った場合、ネムネコ軍が全滅したときのddt³軍の残存兵数をとすると、（８）式から

　　

となりまして、ネムネコ軍は１００名の兵士を失ったのに対して、ddt³は兵士を200−173=27名失うだけですむんだケロ。

 

 

というわけで、２倍の兵力差があると、上の動画に登場するヤマトのように、ネムネコはddt³さんに一方的にタコ殴りされるにゃ。

 

対して、ddt³軍の司令官ddt³さんが、５０名ずつネムネコ軍と戦わせた場合、

　　

ネムネコに都合のいいように四捨五入して、第１回目の戦闘終了後のネムネコ軍の残存兵力をとし、第２回目のバトルをすると、

　　

ネムネコにとって都合のいいように、第２回目の戦闘終了後の残存兵力をと切り上げる。

第３回目のバトルでは

　　

同じく、切り上げてとして、最終戦闘に挑むと

　　

となり、ddt³軍が全滅したとき、ネムネコ軍には兵士が１４名ほど残っていることになり、ネムネコ軍が勝利するにゃ(^^)。

 

 

こんな戦い方では、ネムネコ軍の進軍を止められないにゃ。

ではあるが、ネムネコ軍には連戦による披露が蓄積しているので、引き分けということにしておこう。