工学野郎の思う微分_2

工学野郎の思う微分_2

 

 

　起動しなくなった旧PCより外付け装置に移植したHDですが、「フォーマットされていません」が出やがったので、データ復旧店に持ち込みました。全てではなかったけれど、概ねデータは救出できました。

 

　・・・という訳で、ほぼ復旧記念です(^^)。

 

２．概念としての微分

 

　工学野郎の思う微分_1の1.で、「概念上の話としては、微分可能な関数の一点には、理想化すればその接線が住んでると認めるのと同じです」と書きました。では、微分可能な関数の一点にその接線が住んでるというような、証拠はあるんでしょうか？。あるんですよ、それが。もちろん状況証拠ですけどね(^^;)。以後の喋りは、たぶんにイメージ優先という事になります。

 

　関数の一点に接線がいる事を見るには、いったいどうしたら良いでしょう？。単純に考えれば、一点の内部を覗けば良いわけです。だけど点は大きさを持ちません（無限に小さい）。大きさを持たなければ内部構造もないはずだから、そもそも一点の内部なんてのは概念矛盾だと、プロゲラさんに怒られそうですが、でも［大きさを持たない］＝［無限に小さい］が正しいなら（← 正しいという保証はない(^^;)）、無限に拡大すりゃぁ～内部を覗けれんじゃねっ？、って発想になります。

　そうすると拡大対象は関数なので、関数の拡大と縮小をまず復習しておきましょう。関数、

　　

があった時、kを任意の実数として関数、

　　

は、原点を中心に(1)を1/k倍に拡大した関数でした。どうしてかというと、

　　

という変換を考えてみると、(3)を(2)に代入し、

　　

が得られて、(4)は(1)と同じ曲線を描きます。しかし(X，Y)の中身は(kx'，ky')なので、(4)が(1)と同じ曲線を描くためには、(x，y)＝(kx'，ky')でなければならない事になり、(x'，y')の数値は、

　　

と(x，y)の1/k倍になるためです。

　高校では(x'，y')と(x，y)をごっちゃにして扱う傾向があるために、高校生は(2)を見て非常に悩むんですよね(^^;)。

　変換、

　　

は等方的でもあります。それを確認するには、円で試せば十分です。円の方程式、

　　

に変換(6)を施せば、

　　

なので、(6)が原点から(x，y)までの距離を等方的に1/k倍にしてるのは明らかですし、原点は移動しないので、原点を中心とした拡大／縮小である事もわかります。等方性は、今の場合の関数の一点の拡大に望まれる性質です。

　不便なのは原点中心でしか拡大／縮小できない事ですが、それなら拡大したい関数の一点を原点に移動させればＯＫです。このとき関数のグラフの形を変えてはいけないので、平行移動という話になります。

　　

が、(1)をx方向にa，y方向にbだけ平行移動した関数を表すのでした。ここでも変換、

　　

を考えれば、(x，y)→(x＋a，y＋b)である事は明らかです。

 

　以後、高校方式で、(x，y)と(x'，y')を明確に区別するのはやめます。

　やりたい事は、関数の一点(x₀，f(x₀))が原点に来るように関数を平行移動し、そこで1/h倍（0＜h＜1）に拡大する事です。

　最初に、(x₀，f(x₀))が原点に来るように関数を平行移動します。これは(a，b)＝(－x₀，－f(x₀))の平行移動です。

　　

　次に(9)を原点中心で1/h倍に拡大します。

　　

　無限に拡大するには、h→0の極限をとれば良いわけですが、そのために(10)を少々変形します。

　h≠0とすると、

　　

　(11)の最後の形でh→0の極限をとります。

　　

　最後の結果を出すために、（普通の(^^)）微分の定義を使ってます。すなわち、

　　

です。(12)は、(x₀，f(x₀))が原点に来るように平行移動した結果です。もとの位置に戻しましょう。それには、(a，b)＝(x₀，f(x₀))なる平行移動をすれば良いので、

　　

です。・・・うふふ、(x₀，f(x₀))における接線の方程式じゃ～ないですかぁ～(^^)。接線はいたんですよ。

　ここで、微分を使わずに接線を定義するにはどうするかという（不要に？）頭の痛い問題が生じますが、それは無視します(^^;)。

 

　次に、不要ではない哲学的批判に対処します。恐らく、ネムネコファミリーの中でこの批判を出すとしたら、プロゲラさんです(^^)。批判とは、

 

「点とは大きさを持たないこと。それが点の数学的定義だ」

「したがって、点は内部構造を持たない」

「よって内部構造を持たない点内部に、接線は存在できない」

「(12)で行った極限計算はその経過から明らかなように、点外部の拡大を行ったに過ぎず、点内部を覗いたとは、まったく言えない」

「これは点の数学的定義から最初から明らかで、点内部にその接線がいるという考えは、概念としてまさしく概念矛盾を起こしている。(12)～(14)は、概念的に無意味な数学的トリックに過ぎない」

 

　はっきり言って論理的に完璧な批判です。反論は恐らく無理です(^^;)。ただ数学は、(12)～(14)を無意味な数学的トリックとは考えません。概念矛盾であると知りつつ、というか知ってるからこそ（本当によぉ～く考えた人たちは）、次のように身をかわします。

 

「現実の分析に便利なように、VR（バーチャルリィアリティー）なツールを作っただけなんですよね」

 

・・・と(^^;)。

　(14)は(12)の洗礼の後に出てきたものなので、(14)の(x－x₀)はいくら大きくとも無限倍拡大の縮尺で考えると、実スケールでは0です。だからそれは、VRな点内部の距離と考えてもいいじゃないかと（大きさを持たないことが点の数学的定義）。つまり微分可能な曲線は、各点ごとの接線の集合だと考えられる。

　曲線の各点ごとの接線を近似するものはなんでしょう？。十分細かい区間分割で考えられた、曲線の折れ線近似ですよ。

　よって、関数の一点の内部に接線がいるとVRとして認める事は、曲線は区分的な一次関数の集まりだと認めるのと同じです。これはさっき言ったように、哲学的な概念分析としては非常に危ういのかも知れませんが、認めてみると非常に役に立ちました。

 

　したがって微分とは、一点における（局所的な）関数の一次関数化（線形化）、すなわち関数の局所線形化という人間の意志の産物なのです。

 

（執筆：ddt³さん）