第３１回 有理関数の不定積分

第３１回　有理関数の不定積分

 

問１　aを実数とするとき、次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）　a=0のとき、

　　

a≠0のとき、

　　

 

（２）　a=0のとき、

　　

a≠0のとき、x=atとおくと、dx=adtなので、

　　

（解答終）

 

問２　、次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）　t=x²+2x−1とおくと、

　　

だから、

　　

 

（２）　t=x³−1とおくと、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

問２の（１）は、

　　

と、公式

　　

を使ってといてもよい。

 

問３　次の不定積分を求めよ。

【解】

 

（解答終）

 

問４　次の不定積分を求めよ。

【解】

 

（解答終）

f(x)、g(x)を整関数（多項式関数）とするとき、有理関数の不定積分

　　

は、f(x)をg(x)で割った商と余りを、それぞれ、p(x)、r(x)とするとき、

　　

と分解し、

問４のように、右辺第２項を不定積分が求められるように何らかの手段で部分分数に分解し、不定積分を求める必要がある。

 

そして、無証明で、有理関数の不定積分に関する次の定理だけを提示。

 

定理（有理関数の不定積分）

有理関数の不定積分は、有理関数、対数関数log、逆正接関数tan⁻¹を用いて表される。

 

（２）は、t=2x+1と置き、置換積分を使って、次のように解くこともできる。

 

（２）　t=2x+1とおくと、

　　

したがって、

　　

 

また、（３）は

　　

とし、公式

　　

にa=1を代入し、

　　

としてもよい。

 

 

問５　次の不定積分を求めよ。

【解】

（１）

　　

とすると、

　　

したがって、

　　

 

（２）

　　

とすると、

　　

したがって、

　　

ところで、

　　

したがって、

　　
（解答終）