お前らに質問（６月１６日 関数の最大・最小）の解答例

お前らに質問　（６月１６日　関数の最大・最小）

 

次の問題を微分法を用いずに解け。

 

問題　次の関数の最小値を求めよ。

　　

 

 

 

【ネムネコの解法】

x≠0なので、分母と分子をx²で割ると

　　

だから、

　　

とおくと、

x>0、相加平均≧相乗平均より

　　

よって、①式は

　　

2≦t₁<t₂とすると、

　　

よって、f(t)は増加関数。

したがって、

　　

となり、f(t)はt=2のときに最小値3/2。

よって、t=2、すなわち、x=1のとき、

　　

は最小で、最小値は3/2である。

 

 

（解答終）

 

【別解】

　　

とおく。ここで、kは実数。

上の式の両辺にtを掛けると、

　　

２次方程式の判別式Dの値は

　　

だから、２次方程式②は相異なる２つの実数解をもつ。

したがって、②の解をα<βとすると、β≧2でなければならない。

解と係数の関係より

　　

よって、αは負。

したがって、

　　

とおいたとき、

　　

　　（右図参照）

ゆえに、t=2、すなわち、x=1のとき、最小値3/2。

（別解終）

 

２次方程式を使った解法（別解）は、慣れてないから、難しい。

 

それはそれとして、微分法を使うことなく、この問題を解くことができた(^^)。