お前等に質問！！ （６月１１日 級数の収束）

お前等に質問！！

 

つかぬことをお尋ねしますが、次の級数が収束することを証明できますか。

　　

 

定理　（交代級数）

数列が単調減少で、かつ、ならば、

　　

は収束する。

 

この定理を使えば、一発で解けてしまうので、この定理を使っては駄目だケロ。

 

問題　次の無限級数が収束することを証明せよ。

　　

 

 

ちなみに、この無限級数の値は、

　

だにゃ。

 

n=100まで計算してみたのだけれど、誤差が0.005と、この級数は収束が遅いね。

まあ、交代級数だから、こんなもんかもしれないけれど・・・。

 

 

なになに、この級数はどこから出たって。

 

そりゃ〜、

log(1+x)のマクローリン級数の

　　

という式から出てきたんだにゃ。

この式にx=1を代入したものが

　　

 ところで、

　　

だろう。

だから、

のマクローリン級数は

　　

である。

 

高校で習ったと思うけど、

　　

だよね。

これにr=−xを代入すれば、上の式が得られる。

 

ここで、注目して欲しいのは、（１）と（２）の無限級数が収束するxの範囲の違いだね。

（１）にはx=1が入っているけれど、（２）にはx=1が入っていない。

（１）を微分すれば（２）の（項別）級数が、（２）の（項別）級数を積分すれば（１）の無限級数が得られるのに、収束する範囲が（１）と（２）は微妙に違っている。

 

てなわけで、（１）にx=1という値を入れて得られた

　　

という無限級数は、結構、ヤバい級数であるのは確かなんだけどね。

 

それはそれとしまして、この無限級数の収束性を示してもらおうじゃないか。

 

ノーヒントで解けというのはきついものがあるかもしれないので、

　　

や

　　

が収束することや、上に有界な増加数列は収束するといった基本的なものは使っていいことにするにゃ。

 

ちなみに、

　　

ならば、 は収束する

といったものは使えないケロよ。

 

じゃっ、お前らの検討を祈るにゃ。

 

 

なお、この級数の収束の証明が出来た奴は、この記事のコメント欄に解答を書いて、ネムネコのもとに送信するように、

 

さらに、ヒントを出すと、

　　

としたとき、nが偶数のとき、奇数のときで分けて考えるといいかもしれない。

 

 

我ながら、何と素晴らしいネコなんだウサ！

さらに意欲的な奴に（そんな奴はいやしない！！）

 

追加問題

（１）　のマクローリン級数を求めよ。

（２）　（１）で求めたを（項別）積分することによって、のマクローリン級数を求めよ。

 

（３）　次のことを示せ。

　　

 

【ヒント】

（１）　t=x²とし、のマクローリン級数を利用せよ。

（２）