ちょっとお前らに問題 （ε−δ論法、論理 ５月１６日）

ちょっと、お前らに質問

 

関数f(x)が点aで（lに）収束するとは、

みんなの嫌われ者であるε−δ論法で書くと、

「ある実数lが存在し、任意の実数ε>0に対して、あるδ>0が存在して、0<｜x−a｜<δであるすべての実数xに関して、

　

であること」

だにゃ。

論理記号を使って表すと、

　

とかになるにゃ。

 

では、お前らに質問しよう。

 

問題１

関数f(x)が点aで収束しない、すなわち、関数f(x)が点aで発散することの、ε−δ論法による定義を与えよ。

【ヒント】

　（１）を否定すればよい。

　センター試験対策で、「ある」「任意の（すべての）」を含む命題の否定を求める問題は、繰り返し、何度も解いたはず！！

 

まぁ、

「ある実数lが存在し、xが点aに限りなく近づくとき、f(x)がlに限りなく近づく」

という（文学的な）定義を否定して、f(x)が点aで収束しない、発散するの定義にしてもらっても構わないけれど・・・。

 

ところで、命題「pならばq」を否定すると、どうなるんだい。

この基本を知らなければ、この問題は絶対に解けない！！

 

ついでなので、こうした数学語に慣れてもらうために、つぎの問題も解いてもらおうか。

 

問題２

　命題A　「ある自然数mが存在し、すべての自然数nに対して、ｍ≧nである」

　命題B　「すべての自然数nに対して、ある自然数ｍが存在し、m≧nである」

（１）　命題Aと命題Bは同じ（命題）か。

（２）　命題A、命題Bの真偽を答えよ。

 

命題A、命題Bは次のように言い換えることができるので、こちらで考えてもらってもいいにゃ。

 

命題A’　「ある適当な自然数mを選ぶと、すべての自然数nに対して、m≧nである」

命題B’　「すべての自然数nに対して、m≧nである自然数mが存在する」

 

論理記号で書くと、

命題A（A'）、命題B（B’）は、たとえば、次のようになるケロ。

 

　　

 

ここでは自然数全体の集まり、集合を表す。

 

ｍ、ｎが自然数であることを明示してあれば、つまり、mとnの外延を自然数全体の集合と定めておけば、

　　

だにゃ。

こちらの方が正式な書き方らしいけれど・・・。

 

命題Aのタイプは、こなれた人間語にすると、意味が変わってしまう場合があるので、こうした数学語に慣れてもらうしかないケロ。

 

 さらに、英語が得意な奴は、上の記号で書かれた命題AとBを英語に訳すにゃ(^^)。

英語だとひょっとしたら、この違いがわかるかもしれない(^^ゞ