第２回 ε−δ論法

第２回　ε−δ論法

 

xが点aに限りなく近づくと、その近づき方によらず、関数f(x)がlに限りなく近づくとき、lを点aにおけるf(x)の極限値といい、記号

　　

や

　　

などであらわす。また、このとき、f(x)は点aでlに収束するという。

 

高校数学流の関数の極限の定義は上述のようなものであろうが、この定義は感覚的すぎて、正確な議論を進めることができないので、次のように関数の極限を定義することにする。

 

関数の極限の定義（ε−δ論法）

任意の正数εに対して、ある正数δが存在し、

　　

であるとき、f(x)は点aで収束するといい、記号

　　

であらわす。

また、このとき、lを点aにおけるf(x)の極限値という。

 

論理記号を使って表すと、

　　

より厳密に表すと

　　

 

関数f(x)が点aでlに収束しないは、（１）を否定すればよく、したがって、

　　

がその定義になる。

 

なお、全称記号∀は英単語「any（任意の）」、あるいは、「all（すべての）」、存在記号∃は英単語「exist（存在する）」を記号化したもので、∀ε>0は「任意のε>0に対して」、「すべてのε>0に対して」、∃εは「あるε>0が存在して」などと読めばよい。

蛇足ながら、記号⇒は「ならば」、∧は「かつ」の意味である。

 

したがって、（２）は、

「ある実数ε>0が存在して、任意の実数δ>0に対して、ある実数xが存在して、

　　

である」

または

「ある実数ε>0が存在して、任意の実数δ>0に対して、

　　

を満たす、ある実数xが存在する」

などと読めばよい。

 

 

問題１　次のことを示せ。

　　

【解】

任意の正数εに対して、δ=ε>0とすれば、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

 

問題２　cを定数とするとき、次のことを（ε−δ論法を用いて）証明せよ。

　　

【解】

c=0のとき、

　　

は明らか。

そこで、c≠0とする。

任意の正数εに対して、ならば、

　　

となるので、

　　

に定めれば、

　　　　

ならば、

　　

となり、

　　

（解答終）

 

問題３　a>0とする。このとき、次のことを示せ。

　　

【解】

とすると、

　　

よって、任意の正数εに対して

　　

とすれば、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

問題４　次のことを示せ。

　　

【解】

任意の正数εに対して、δ=εと定めると、

　　

ならば

　　

よって、

　　

（解答終）

 

 

問題５　次のことを（ε−δ論法を用いて）証明せよ。

　　

【解】

とすると、

　　

となるので、

　　

となるように正数δを定めればよい。

0<δ≦1のとき、δ²≦δだから、

　　

となるようにδを定めればよい。

したがって、δ>1の場合を含めて、

任意の正数εに対して、δを

　　

に定めれば、

　　

となり、

　　

ここで、記号min{a,b}は、aとbのうちの大きくない数、すなわち、

　　

である。

（解答終）

 

δはεに対して一意に定まるものではないので、次のような解答を作ることも可能。

 

【別解】

とすると、

　　

したがって、任意の正数εに対して、

　　

となるようにδを定めればよい。

２次方程式

　　

から、解は

　　

となるが、δ>0なので、

　　

よって、

任意の正数εに対して、 とすれば、

　　

となり、

　　

（解答終）

 

なお、

一般に、δはaとεの値によって定まるのでやと表すことがあるが、問題３や問題５のように、aとεの値によって一意に定まるものではないので、関数の意味でないことに注意。

 

発展問題　a≠0とする。このとき、ε−δ論法を用いて、次のことを示せ。