お前らに質問！！ 統計・確率編 （２月２０日）

統計不正という事件で、何やら、世の中が騒がしいので、お前らに確率・統計の問題を一つ出すにゃ。

 

問題

箱の中には、1〜N（Nは２以上）までの相異なる数字が書かれた玉がそれぞれ１個ずつ、合計N個入っている。その箱の中から１つ取り出した玉に書かれている数字をXとし、取り出した玉を戻さず、さらにもう１つ取り出した玉に書かれている数字をYとする。

このとき、次の問に答えよ。

（１）　Xの期待値（平均値）はいくらか。

（２）　X＋Yの期待値（平均値）はいくらか。

（３）　１回目に取り出した玉を箱に戻したあとに、さらに、２回目の玉を取り出すように変更したとする。１回目に取り出した球に書かれている数をX、２回目に取り出した書かれている数をYとしたとき、X＋Yの期待値（平均値）はいくつになるか。

 

1,2,・・・,Nだと難しいというヒトは、N=2、N＝３の場合について、考えるといいにゃ。

 

参考までに、

N＝２の場合、

（１）　X=1、X=2の確率はともに1/2だから、期待値〈X〉は

　

 

（２）　（X,Y）の組み合わせは、（1,2）、（2,1）で、確率は共に1/2だから、

　

 

（３）　（X,Y）の組み合わせは、（1,1）、（1,2）,（2,1）,（2,2）で、このそれぞれの確率は1/4だから、

　

 

「組み合わせ」という言葉は誤解を招くおそれがあり、適切でないかもしれない。何か、いい表現があったら、教えろ！！

 

（２）は、Z=X+Yとおくと、Z=3で、この確率は１だから、〈Z〉=〈X+Y〉=3

（２）は、Z=X+Yとおくと、確率分布が

 

Z	2	3	4
確率p(Z)	1/4	1/2	1/4

 

となるので、期待値は

　

と解くこともできる。

 

この場合、（２）と（３）は同じになるようですが、N=3の場合はどうなんだろうね。

より一般のNの場合、どうなるんだろう。

つまり、

１回目に取り出した球を箱に戻してから改めて２回目の球を取り出しても（復元抽出）、戻さずに２回目の球を取り出しても（非復元抽出）、２回取り出した球に書かれている数の和の期待値（平均）は変わらないのであろうか。

 

ちなみに、のときの確率をとすると、この期待値（平均値）は

　

ただし

　

で定義されるにゃ。

期待値を表す記号をと表す流儀もあるので、好きな方を選ぶといいにゃ。

正解したヒトには、漏れなく、金の玉、略して、金玉（英単語：Testicleじゃ〜ないぞ）が当たるにゃ（笑）。

ここでさらに、英語の問題を一つ。
Golden BallとGold Ballの違いってわかるケロか。
この２つは意味が違うにゃ。

N個の場合についてできた奴は、コメント欄に回答を書いて、ネムネコに送信するように。
その回答が正しかろうが、間違っていようが、その回答を清書した上に、ブログの記事としてアップするにゃ。