第１１回 十分条件と必要条件

第１１回　十分条件と必要条件

 

一般に、内含命題a(x)⇒b(x)（正確には、∀x,a(x)⇒b(x)）は、真にも偽にもなる。（右表参照）

a(x)⇒b(x)が真であるときでも、a(x)、b(x)がともに真であるとは限らない。

そこで、a(x)⇒b(x)が真であるとき、b(x)が偽であるとすると、a(x)は真と偽のいずれの値もとる。したがって、a(x)が真であるためには、b(x)は真である必要がある。よって、b(x)はa(x)であるための必要条件という。

また、a(x)⇒b(x)が真であるとき、b(x)が真であるためには、a(x)が真であれば十分である。よって、a(x)はb(x)であるための十分条件という。

 

２つの内含命題、a(x)⇒b(x)とb(x)⇒a(x)がともに真であるとき、後者からa(x)はbであるための必要条件となり、前者からa(x)はb(x)であるための十分条件となる。このとき、a(x)はb(x)であるための必要十分条件という。同様に、b(x)はa(x)であるための必要十分条件である。

 

問１　次の（　　）の中に適するように、「必要」、「十分」、「必要でも十分でもない」のいずれかを入れよ。

（１）　x=1はx²−x=0であるための（　　）条件である。

（２）　−4≦x≦6は｜x−1｜≦5であるための（　　）条件である。

（３）　x>2、y>3はx+y>5であるための（　　）条件である。

（４）　「x=1またはx=6」はであるための（　　）条件である。

（５）　x+y≦1はx²+y²≦1であるための（　　）条件である。

【解答】

（１）　x=1⇒x²−x=0は真、x²−x⇒x=1は偽。したがって、x=1はx²−x=0であるための十分条件。

（２）　不等式｜x−1｜≦5の解は−4≦x≦6。よって、−4≦x≦6は｜x−1｜≦5であるための必要十分条件。

（３）　x>2∧y>3⇒x+y>5は真。x+y>5⇒x>2∧y>3は偽。したがって、x>2、y>3はx+y>5であるための十分条件である。

（４）　の解はx=6。したがって、は偽で、は真。よって、「x=1またはx=6」はであるための必要条件である。

（５）　x+y≦1⇒x²+y²≦1は偽。（反例：x=−1、y=2）

　　　x²+y²≦1⇒x+y≦1は偽。（反例:x=y=1/√2）

よって、x+y≦1はx²+y²≦1であるための必要でも十分でもない条件である。

（解答終）

 

問２　次の（　）の中に必要条件ならばA、十分条件ならばB、必要十分条件ならばC、必要条件でも十分条件でもないならばDを入れよ。

（１）　x>0、y>0は2x−y>0、x−2y+1<0であるための（　）である。

（２）　x≧0は、すべてのy<0について、x≧yであるための（　）である。

（３）　あるxについてax+b=0であることは、a≠0であるための（　）である。

【解答】

（１）　命題「x>0,y>0」の真理集合をP、「2x−y>0、x−2y+1<0」の真理集合をQとすると、

　　P={(x,y)｜x>0∧y>0}、Q={(x,y)｜2x−y>0∧x−2y+1<0}

したがって、

（下図参照）

 

 

よって、x>0∧y>0⇒2x−y>0∧x−2y+1<0は偽、2x−y>0∧x−2y+1<0⇒x>0∧y>0は真。

したがって、A

 

（２）　「x≧0」⇒「すべてのy<0について、x≧y」は真。

また、「すべてのy<0について、x≧y」⇒「x≧0」も真。

したがって、C

 

（３）　「あるxについてax+b=0である」⇒「a≠０」は、偽。なぜならば、a=b=0のとき、全てのxについて0=0が成立し、実数全体が解になるから。

「a≠0」⇒「あるxについてax+b=0である」は、真。

したがって、D。

（解答終）