必要条件、十分条件に関する問題

必要条件、十分条件に関する問題

 

基礎知識の確認

 

p、qを命題とする。p⇒qが真であるとき、pはqであるための十分条件、qはpであるための必要条件であるという。

また、p(x)、q(x)を条件命題、P、Qをその真理集合、すなわち、

　

とすると、p(x)⇒q(x)（正確には、∀x,p(x)⇒q(x)）のとき、真理集合PとQの間には

　

という関係が成立する。

したがって、必定十分条件、p(x)⇔q(x)のとき、P⊂QかつP⊃Qより、真理集合PとQの間には

　P＝Q

という関係が成立する。

 

 

問題１　次の表で、PはQであるための必要条件、十分条件、必要十分条件であるか。このいずれでもない場合は☓をつけよ。

 

P	（ア） a=0	（イ） ab>bc	（ウ） a³=b³	（エ） a²>b²	（オ） ab=0
Q	ab=0	a>c	a=b	a>b	a²+b²=0

 

【解】

（ア）　a=0⇒ab=0は真、ab=0⇒a=0は偽。したがって、a=0はab=0であるための十分条件。

 

（イ）　ab>bcかつb<0とすると、

　

a>cのとき、b<0とすると、

　

よって、ab>bcは、必要条件でも十分条件でもない。

 

（ウ）　a³=b³であるとすると、

　

したがって、等号が成立するのは、

　

よって、

　

したがって、a³=b³はa=bであるための必要かつ十分条件。

 

（エ）　a=−1、b=0とすると、(-1)²=1>0であるが、a>bではない。よって、a²>b²⇒a>bは偽。

a=0、b=−1とすると、a>bであるが、a²=0<(−1)²=b²となるので、a>b⇒a²>b²は偽。

よって、a²>b²はa>bであるための必要条件でも十分条件でもない。

 

（オ）　「ab=0」⇔「a=0またはb=0」。また、「a²+b²=0」⇔「a=b=0」である。

したがって、ab=0⇒a²+b²=0は偽、a²+b²=0⇒ab=0。

よって、ab=0はa²+b²=0であるための必要条件。

 

P	（ア） a=0	（イ） ab>bc	（ウ） a³=b³	（エ） a²>b²	（オ） ab=0
Q	ab=0	a>c	a=b	a>b	a²+b²=0
	十分条件	☓	必要十分条件	☓	必要条件

 

（解答終）

 

 

問題２　次の空欄（ア）、（イ）、（ウ）に適する言葉を入れよ。

実数x,yに対するp:x+y≧4、q：x≧2またはy≧2、r:x≧2かつy≧2において、pはqの（ア）条件、pはrの（イ）条件、qはrの（ウ）条件である。

【解】

命題p、q、rの真理集合をそれぞれP、Q、Rとすると、

　

これを座標平面上に描くと、次のようになる。

 

 

したがって、

　P⊂Q、P⊃R（R⊂P）、Q⊃R（R⊂Q)という包含関係が成り立つ。

よって、pはqであるための十分条件、qはpであるための必要条件、

qはrであるための必要条件である。

 

（ア）十分条件　（イ）必要条件　（ウ）必要条件

（解答終）

 

 

問題３　f(x)は係数が実数である３次式、x²+bx+c（b,cは実数）を0にするxの値の１つをαとする。次の問に答えよ。

（１）　f(α)=0は、f(x)がx²+bx+cで割り切れるための必要条件であることを示せ。

（２）　b²<4bcのとき、f(α)=0は、f(x)がx²+bx+cで割り切れるための十分条件であることを示せ。

【解】

（１）　f(x)がx²+x+cで割り切れるとすると、

　

である１次式h(x)が存在する。

したがって、(x)がx²+bx+cで割り切れるためには、

　

でなければならない。

 

（２）　b²<4bcだから、２次方程式x²+bx+c=0の解は虚根。その一つをα=p+qi（p、qは実数でq≠0）とし、f(x)をx²+bx+cで割った商をh(x)、剰余をmx+nとすると、

　

仮定よりf(α)=0だから、

　

q≠0だからm=0。よって、n=0。

したがって、f(α)=0は、f(x)がx²+bx+cで割り切れるための十分条件である。

（解答終）

 

 

問題４　f(x)=x²+(a−1)x+1、g(x)=mx²+2ax+mとおく。a、bは実数である。

（１）　すべての実数xについて、f(x)>0が成り立つようなaの範囲を定めよ。

（２）　「すべての実数xに対して、f(x)>0である」ことが、 「すべての実数xに対して、g(x)>0である」ための十分条件となるようなmの範囲を定めよ。

【解】

（１）　２次方程式x²+(a−1)x+1=0の判別式をDとすると、すべての実数xについてf(x)>0であるためにはD<0でなければならない。

したがって、

　

 

（２）　２次方程式mx²+2ax+m=0の判別式をDとすると、すべての実数xに対してg(x)>0であるためには、m>0かつD<0でなければならない。

　

としたとき、A⊂Bとならなければならないので、m≧3。

（解答終）

 

 宿題　y≧ax(x−2)がの成り立つための十分条件となるようなaの範囲を定めよ。

（ヒント）