便利だが超〜危険な定理

便利だが超〜危険な定理

 

このブログ、「ねこ騙し数学」は、原則として、極限計算でロピタルの定理を使わない、つまり、反ロピタルの定理の方針を貫いている。

古くからこのブログの数学の記事を読んでいるヒトは、このことをよく知っていると思う。

 

そこで、大学の微分積分などの解析で使われている、何を書いているかわからなくて、ロピタルの定理以上に危険な定理を紹介することにする。

 

定理　次の２つは同値である。

（１）　集合Fは閉集合である

（２）　点列が収束するならば、その極限は集合Fに必ず属する。

 

この定理があまりに危険なためなのだろうか、

洲之内治男の「ルベーグ積分入門」（内田古鶴圃）には、この定理を紹介すると同時に次のような注意書きがついている。

 

【注意】　この定理の（２）⇒（１）は、解析学で集合が閉集合であることを示すのに用いられる。ところで、（この）定理は、Fの任意の点列がFの中に極限をもつといっているのではない。ただ単に、Fの点列が極限をもつならば、その極限は必ずFの中に入るに行っているに過ぎない。

 

そして、この注意書きのあとに、この定理の応用として、次の例が紹介されている。

 

例　閉集合[a,b]が閉集合であることをこの定理を用いて証明してみよう。

それには、ならば、x∈[a,b]であることを示せばよい。

より、である。

とすると、極限の性質より、a≦x≦bは明らか（であり、x∈[a,b]。よって[a,b]は閉集合である）。

 

この例の証明を読んで納得できるヒトは、いったい、どれくらいいるのだろうか(^^ゞ

 

この例を真似れば、A=[a,b]×[c,d]、すなわち、

　　

が閉集合であることの証明は次のようになるのであろう。

 

【証明(・・?】

それには、ならば、(x,y)∈Aであることを示せばよい。

であるから、

　　

である。

　　

とすると、極限の性質より、

　　

は明らかであり、(x,y)∈[a,b]×[c,d]。

よって、A=[a,b]×[c,d]は閉集合である。

（証明(・・?終）

 

２次元ユークリッド空間R²の場合、

をその点列、その元、さらに、この点列の極限（点）をP=(x,y)とする。

このとき、

　　

が成立するから、うるさいことをいわなければ、上のヤツで証明になっているんじゃ〜ないか。

 

何故かって、がPに収束するとき、

任意の正数ε>0に対し、ある自然数mがあって、

　　

が成立し、

逆にのとき、任意のε>0に対し、ある自然数mがあって、n≧mならば、

　　

が成立するので、任意のε>0に対して、

　　

が成立するからだよ。

 

 

ここで、お前らに問題。

 

確認問題１

A=(−1,1)とし、一般項が

　　

である点列（数列）を考える。

すると、この点列の極限値は0、0∈A。

すると、定理よりAは閉集合となるが、A=(−1,1)は開集合となり、矛盾する。

これは、紹介した定理に反する。

どこがいけないのか、説明せよ。

 

確認問題２

　　

さて、集合Mは閉集合か。閉集合であればその証明をし、閉集合でなければ、反例をあげよ。

　　

集合Lは閉集合か。

 

この確認問題に答えられないとしたら、そのヒトは、この定理を理解できていないので、この超〜危険な定理は使うべきではない。

 

発展問題

fを実数全体の集合R上の連続関数とする。このとき、集合

　　

が閉集合であることを示せ。