高校数学でおなじみのあの問題の二分法を用いた解答例

高校数学でおなじみのあの問題の二分法を用いた解答例

問題　閉区間[a,b]で連続な関数f(x)について、a≦f(x)≦bであるならば、

　　

となるcが[a,b]に存在することを示せ。

【中間値の定理を用いた解答例】

f(a)=aまたはf(b)=bならば、c=aまたはc=bをとればいい。

そこで、f(a)>a、f(b)<bとし、

　　

という関数g(x)について考える。

f(x)とxは[a,b]で連続だから、g(x)は[a,b]で連続。

　　

だから、中間値の定理より、

　　

となるcが[a,b]に存在する。

（解答例終）

【二分法を用いた解答例】
g(a)=f(a)−a=0、または、g(b)=f(b)−b=0のとき、aまたはbがお目当てのcになるので、この場合は除くにゃ。

　　

とし、[a,b]を[a₁,b₂]とする。

そこで、

　　

とし、

　　

ならば、このc₁がお目当てのc。

ならば

　　

とおき、[a₂,b₂]という新たな閉区間を作る。

で、

　　

とし、

　　

ならば、c₂がお目当てのc。

ならば、

　　

とする。

そして、新たな閉区間[a₃,b₃]を設け、

　　

　　　

という閉区間のときにも同様に、

　　

とおき、

　　

ならば、これがお目当てのものなので、ここで終了。

のとき、

　　

とおき、という新しい閉区間を作る。

そして、この操作を繰り返す。

 

すると、

　　

となる。

この構成法からすべての自然数について、

　　

が成立していることは言わずもがなであり、

　　

となる。

は上に有界な単調増加数列、は下に有界な単調減少数列だから、極限値をもち、

　　

だから、

　　

となる。

この構成法から、すべての自然数nについて

　　

であること、また関数gは連続であることから、

　　

よって、

　　

したがって、この極限値γがお目当てのcとなる。

（解答終）