第８回 近傍と近傍系

第８回　近傍と近傍系

 

を位相空間とする。x∈Xの部分集合Uに対して、

　　

となるXの開集合Oが存在するとき、Uはxの近傍であるという。

とくに、点xを含む開集合はすべてxの近傍であり、これを点xの開近傍といい、Uが閉集合であるとき閉近傍という。

位相空間において、点xの近傍全体の集合を近傍系といい、で表す。すなわち、

　　

 

定理１

を位相空間とする。OはXの部分集合とする。このとき、次は同値である。

（１）　Oは開集合である。

（２）　任意のx∈Oに対して、

（３）　任意のx∈Oに対して、あるが存在し、U⊂Oとなる。

【証明】

（１）⇒（２）⇒（３）は明らかなので、（３）⇒（１）のみを証明する。

x∈Oとすると、仮定より、となるxの近傍がある。また、はxの近傍なので、

となる開集合が存在する。

したがって、任意のx∈Oは、集合Oの内点となり、Oは開集合である。

（証明終）

 

 

定理２　を位相空間とする。近傍系は次の条件をみたす。

（１）　Xの各点xについてであり、ならばx∈Uである。

（２）　ならば

（３）　かつU⊂V⊂Xならば

（４）　任意のに対して、あるを選んで、各点y∈Vに対してとすることができる。

【証明】

（１）、（３）は明らか。

（２）　とすれば、x∈U₁、x∈U₂。

よって、

（４）　に対してとおけばであり、任意のに対してとなる。

（証明終）

 

あるいは、

【別証】

（１）、（３）は明らか。

 

（２）　条件より

　　

となるXの開集合が存在し、

　　

 

（４）　に対してとおけばであり、任意のに対してとなる。

（証明終）

 

 

定理３　を位相空間とする。Xの部分集合AとXの点xについて、であるための必要十分条件は、点xの各近傍がAと交わることである。

【証明】

とすれば、は点xの開近傍であり、Aと交わらない。ゆえに、点xの各近傍がAに交わればである。

逆に、点xの近傍UがAに交わらなければ、かつが成り立つ。は閉集合だから、となり、。

ゆえに、ならば点xの各近傍はAに交わる。

（証明終）

 

 

を位相空間とする。点x∈Xの近傍系の部分集合について、ならば、V⊂Uである元が常に存在するとき、を基本近傍系という。

 

例　を距離空間とし、を距離dで定まる位相とする。位相空間について、

　　

は、点xの（可算）基本近傍系である。