続・ローレンツ変換の”よもやま話”

続・ローレンツ変換の”よもやま話”

 

前回、双曲線関数

　　

を紹介すると同時に、この双曲線関数を用いるとローレンツ変換は次のように表すことができるという話をしたにゃ。

　　

 

ここで、オイラーの関係式

　　

を思い出して欲しい。

この（４）式から、

　　

という関係式が直ちにえられ、（４）、（５）をcosθとsinθについて解くと、次の関係式が得られる。

　　

そして、前出の双曲線関数を用いて書き換えると、次の関係を得ることができる。

　　

さらに、この関係式から、

　　

という関係が得られる。

この関係をローレンツ変換の変換式（３）に代入すると、

　　

φ=iθとおき、実数の角度θではなく、純虚数の角度φを導入すると、ローレンツ変換の変換式は

　　

となり、２次元ユークリッド空間の原点Oまわりの回転による座標変換の式

　　

とよく似たものになるのであった。

 

２次元ユークリッド空間の原点まわりの回転による座標変換の式では、

　　

になるケロ。

そして、（９）式で表される原点まわりの回転（？）によっては、

　　

になるってわけだわさ。

 

ローレンツ変換や相対性理論が活躍する舞台は、ユークリッドの幾何学が成立するユークリッド空間ではなく、非ユークリッド幾何学が幅を利かす非ユークリッド空間だから、ユークリッド空間の常識なんて通用しないんだケロ！！