0.999・・・は１と等しいのか、等しくないのか

0.999・・・は１と等しいのか、等しくないのか

 

9が無限に続く小数0.999・・・は１と等しいのか等しくないのか、というお話です。

文系の多くのヒトと理系のごく一部のヒトは

　　

と答えると思うにゃ。

こう答えるごく一部の理系のヒトの中には、二つのタイプが存在すると思うが、ブラゲロ・マムシが息を吹き返す恐れがあるので、この話はしない。寝た子を起こすような危ない真似はしたくないにゃ。

 

 

ところで、x=0.999・・・とおくと、

　　

だにゃ。

そこで、②と①の両辺との差を取ると、

　　

ということで、0.999・・・と１は等しいんだケロよ。

 

この手品のような証明にケチをつけるヒトの口封じのために、次の証明（？）を挙げておこう。

　　

①の両辺を３倍すると、

　　

どうだにゃ、これで文句はないだろう！！

 

ところで、あなたは、0.333・・・や0.999・・・と延々と数が続くものを、数だと思っていませんか。

厳密なことをいうと、

　　

という永遠に終わることのない足し算ーー永遠に終わることのない足し算なので、（永遠に）足すことによってこの値（そんな値があればだが・・・）を求めることはできない(^^ゞーー、つまり、無限級数を表したものであって、実は、これは数そのものじゃ〜ないんだケロ。

そして、数学の公式から、

　　

となるので、

　　

ってわけですわね〜。

 

ところで、0.999・・・と延々と終わることなく9が続く無限小数を小数点n位までとった数（？）をと置くことにする。

すなわち、

　　

だにゃ。

1とこのとの差を取ると、

　　

になる。n=1ならばこの差は1/10、n=2ならばこの差は1/10²=1/100、n=3ならばこの差は1/10³=1/1000、・・・とnをドンドン大きしてゆけば、限りなく0に近づいてゆく。

このことを、

　　

と記号であらわすことにするにゃ。

そして、このとき、

　　

とあらわし、は１に収束するといい、1を数列の極限値という。

つまり、

　　

という無限級数は１に収束し、その極限値は1なので、このお約束にしたがって

　　

と表しているんだにゃ。

あるいは、0.999・・・（で表される無限級数）の極限値は１で、この0.999・・・（で表される無限級数の極限値）は１に等しいの意味、なんだケロよ。

てなわけで、0.333・・・や0.999・・・をナマの数だと思っちゃ〜いけないんだケロ。そして、多くの混乱は、0.333・・・や0.999・・・をナマの数だと思っていることに起因していると思う。

 

さてさて、ネムネコが高校１年のときの数学の教師の一人が「0.999・・・と１は等しくない」と抜かしやがった。そして、この瞬間、ネムネコのこの数学教師に対する評価は下ったのであった。

 

ところで、

　　

と延々に続く循環小数を、分子が整数、分母が整数の分数に直すことはできるケロか。

いくつかその方法はあるんだけれど、もっとも簡単な方法は

　　

とおき、①の両辺を１００倍するにゃ。

すると、

　　

②と①の差を取ると、いい塩梅に小数点以下がすべて０になってくれるにゃ。

つまり、

　　

ネムネコは、4÷33なんて難しい割り算をできないので、電卓でこの計算したところ、どうやら4/33=0.121212・・・となるようだにゃ。

 

この計算法は極限の公式に則ったもので、やましいところは全くないので、積極的に使うべきだにゃ。中学生数学レベルで解けるのだから、わざわざ難しく解く必要はない！！

 

一つ言い忘れたけれど、

　　

の右辺のように簡略化して書くにゃ。

なお、

　　

と書くのは間違いなので、気をつけること。繰り返す数字の初めと最後の上に・という記号をつけるんだケロ。

 

 

 

これで、⑨³の解説は終わりだにゃ。

 

さらに、この曲を♪

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