独立試行の確率の補充問題

独立試行の確率の補充問題

 

独立試行の確率

１回の施行で、事象Aの起こる確率をpとする。この施行をn回繰り返すとき、事象Aがk回起こる確率は

　　

 

独立試行で最大確率の場合の回数

１回の施行で事象Aの起きる確率をpとするとき、n回の施行のうちで事象Aがr回起きる確率が最も大きいとすれば、次の不等式が成り立つ。

　　

 

 

問題１　１つのさいころを５回投げるとき、

（１）　４の目が３回出る確率求めよ。

（２）　４の目が３回以上出る確率を求めよ。

【略解】

４の目がk回出る確率をと表すことにする。

 

（解答終）

 

 

類題　１つのさいころを３回投げるとき、次の確率を求めよ。

（１）　１の目がまったく出ない確率

（２）　１の目が１回出る確率

（３）　１の目が２回以上出る確率。

【略解】

１の目がk回出る確率をで表すことにする。

（略解終）

 

１の目が２回以上でる事象の余事象は、１の目がまったく出ない、または、１の目が１回出る事象なので、余事象の確率を使い次のように求めることもできる。

 

 

問題２　AとBが互いに１つのさいころを投げて、最初に２の目を出したものを勝ちとする。Aから始めるとき、

（１）　Aが勝つ確率を求めよ。

（２）　Bの勝つ確率はAと同じと言えるか。

 

【解答】

（１）　nを正の整数とするとき、Aから交互にコインを振ってAが2n−1回目に勝つのは、2ｎ−2回目まで２以外の目が出て、2n−1回目に2のさいころの目が出るとき。

このときの確率は

　　

よって、Aが勝つ確率は

　　

 

 

（２）　Bの勝つ確率は

　　

なので、Aの勝つ確率と同じではない。

（解答終）

 

類題　袋の中から１から１０までの番号を書いた札が１つずつ入れてある。いまA、B２人がAからはじめて交互に１枚ずつ札を取り出し、先に１の番号の札を出したものを勝ちとする。取った札は必ず元に戻すことにすれば、A、Bが勝つ確率はいくつか。

【略解】

Aが勝つ確率は

　　

Bが勝つ確率は

　　

（略解終）

 

 

問題３　さいころを振って、偶数の目が出たらそのたびにもう１回振り、奇数の目が出たらそこで止めるものとし、k回でやめとなればk円もらえるものとする。最大回nまで振るものとし、その期待金額をとするとき、を求めよ。

【解】

k回でやめになる確率をとすると、これはk−1回連続で偶数が出て、k回目に奇数が出る事象の確率になるので、

　　

よって、期待金額は

　　

両辺を1/2倍すると

　　

①と②の差をとると、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

問題４　さいころを５０回投げるとき、５の目が何回出る確率が最も大きいか。

【解】

n=50、p=1/6、５の目が出る確率が最大となる回数をrとすると、（２）より

　　

よって、８回

（解答終）

 

類題　硬貨を１００回投げるとき、表が何回出る確率が最も大きいか。

【解】

p=1/2、n=100、表の出る確率が最大である回数rとすると、

　　

よって。５０回

（解答終）

 

 

問題５　さいころをn回振るとき、少なくとも１回６の目が出る確率が0.9より大きくなるか。ただし、log₁₀2=0.3010、log₁₀3=0.4771とする。

【解】

題意より、

　　

両辺の常用対数をとると、

　　

ここで、

　　

よって、

　　

したがって、

　　

よって、n=13回。

（解答終）