お前らに質問（前進差分と後退差分）

お前らに質問（前進差分と後退差分）！！

 

 

次の微分方程式の初期値問題がある。

　　

この微分方程式の解がであることは言うまでもない。

 

ところで、この微分方程式を差分方程式で近似すると、

　　

となる。

 

一方、後退差分を用いて（１）を差分方程式に書き換えると、

　　

Δx=0.1とし、（３）と（５）を用いて計算した結果は次のとおり。

 

 

計算結果の大小関係は

　後退差分≧厳密解≧前進差分

になる。

 

次に、

　　

について考える。

この解がであることは明らかだろう。

 

前進差分の場合、

　　

後退差分の場合、

　　

h=0.1とし、（７）、（８）を用いて計算すると、

となり、大小関係が逆転し、

　前進差分≧厳密解≧後退差分

の順になる。

 

これは偶然ですかい？

それとも、この大小関係の逆転、そして、厳密解が前進差分と後退差分による数値解の間に来ることには、何か、深い数学的な理由があるのですか？

 

お前らに、この深遠な（？）問題について答えてもらおうじゃないか！！

 

この問いを完全に答えられなくても、ある種の規則性、法則性を見つけられると、新たな地平線を見ることができると思うにゃ。

新たな高みに到達できるかい？

オマケ

 

微分方程式

　　

に前進差分を用いて得られる差分方程式は

であり、後退差分を用いることで得られる差分方程式は

　　

である。

（４）式中の

　　

とマクローリン展開（テーラー展開）できるので、

　　

したがって、（２）式で得られるよりも（４）式から計算されるの方が必ず大きくなる。

また、Δxが1に比べて十分小さいならば、（２）式と（４）式はほとんど同じものになる。

 

微分方程式

　　

の場合は、・・・。

お前ら、自分で考える(^^)

できた奴は、コメント欄に書いて、ネムネコのもとに送信するにゃ。

 

コッチは、差をとって数学的帰納法を使って証明すことになりそうだね。