積分の有名問題に挑む

積分の有名問題に挑む

 

次の有名な積分の問題は、広義積分を使うと簡単に解けてしまうんだね〜。

 

問題　次の積分の値を求めよ。

　　

【解答】

　　

t=tanxとおくと、

　　

x=0→t=0、x=π/2→t=∞（正確には）になるので、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

そして、これから

　　

になる。

何故ならば、

　　

右辺第二項の積分は、x=π−tとおくと、

　　

よって、

　　

　　

 

この手の積分には、多少やましいところがあるくらいで丁度良い(^^ゞ

 

問題の解答は、t=tanxとおくと、

　　

となることを使って、

　　

としてもよい。

 

ところで、楕円

　　

の面積Sは、

　　

である。

　　

とおき、代入すると、

　　

と、上の楕円の極座標表示の方程式が得られる。

そして、この楕円の面積Sの1/4は

　　

と、図形的な意味を考えると、積分の計算を一切することなく、この積分の値を求めることができるのであった。

と同時に、

　　

になるのであった。

 

つまり、この積分は楕円の面積を表すものだったんだね〜。

 

そして、この曲を♪

流れで埋め込んだだけだケロ。ネムネコを頼りにしてもらったら困るにゃ。