ヤコビの楕円関数

ヤコビの楕円関数

 

0<k²<1ならば、次の積分は

　　

は、単調な微分可能なφの関数となる。この積分をヤコビの楕円関数という。

いま、（１）をu=F(φ)とし、この関数のグラフについて考える。

　　

より、0≦φ≦π/2では下に凸、π/≦φ≦πでは上に凸となる。

ここで、

　　

とおけば、次の関係が成立する。

　　

したがって、u=F(φ)のグラフは次のようになる。

 

 

問　（３）、（４）が成立することを示せ。

【証明】

（１）

　　

右辺第２項の積分に対して、t=π−xとして置換積分すると、

　　

したがって、

　　

 

（２）

　　

右辺第２項の積分に、t=x−πとして置換積分すると、

　　

よって、

　　

（証明終了）

 

【註】

　　

と表すのが一般的であるが、議論を容易にするために、パラメータ（母数）kを省略した。

 

 

u=F(φ)の逆関数を

　　

で表し、これをuの振幅という。この振幅の正弦と余弦を

　　

で表す。

この定義から、

　　

 

（４）より次の関係が成立する。

　　

が成り立つから、sn uとcn uは4nKを周期とする周期関数である。また、sn uは奇関数、cn uは偶関数である。

（下図参照）

 

 

次に振幅am uの導関数を考えると、

　　

となるが、これをdn(u)で表す。すなわち、

　　

したがって、snとcnの導関数は次のようになる。

　　

さらに、