お前らに問題（７月２１日） 位相

お前らに問題（７月２１日）　位相

 

Xを空でない集合とする。

（１）　O={∅,X}とおくと、OはXの上の位相となる。これをXの密着位相という。

（２）　OをXの冪（べき）集合、すなわち、とおくと、OはXの上の位相となる。これをXの離散位相という。

 

ここで、記号∅は空集合をあらわす。

 

さて、とすると、Xの冪集合は

　

である。

ここで、とおけば、OはXの（離散）位相となる。

何故ならば、

　　

という、位相の条件を満たしているからだ。

そして、このことから、Xの冪集合のすべての元（Xのすべての部分集合）は位相空間〈X,O〉の開集合（以降、開集合と略記）になる。

 

では、ここで、お前らに質問。

 

問題

OをX={1,2,3}の冪集合とするとき、OはXの位相となる。

このとき、Oの元、つまり、Xの部分集合は、すべて開集合であると同時に閉集合であることを示せ。

Oを整数全体の集合Zの冪集合とするときはどうか答えよ。

 

こんなのは簡単だという奴は、

X＝｛1,2,3｝の相異なる２つの元x、yは、互いに交わらない開集合U、Vを用いて、x∈U、y∈Vとできる、つまり、分離できることを示せ。

 

要するに、X＝｛1,2,3｝のとき、位相空間がハウスドルフ空間（Hausdorff Space）、分離空間であることを示せってんだ。

 

これもチョロいという奴は、次の問いにチャレンジする。

 

問　ハウスドルフ空間の一点集合はつねに閉集合であることを示せ。

 

自分の頭の⑨ぶりに絶望するといいにゃ(^^)

 

 

そして、ネムネコに

 

 

 

なんと心地良い調べか♪

 

 

 

念の為に、閉集合の定義は、次の通り。

〈X,O〉を位相空間とする。集合Xの部分集合Aは、その補集合が開集合であるとき、閉集合という。

 

 

ネムネコのひとりごと

ネットで、次の問の証明を検索してみた。

問　ハウスドルフ空間の一点集合はつねに閉集合であることを示せ。

そしたら、YAHOO！知恵袋にこんな回答があった。
　　https://goo.gl/nGFm24

小さな声で、しかし、ハッキリ言うが、
この証明（？）は間違っている！！

さらに、ネムネコの踊りを披露！！

ハウスドルフ空間、分離空間であるという条件を使っていないケロ。この時点で、「おかしい」と思わないのかな〜。
この条件を使わないと、この証明は絶対にできないというのに（笑）

なぜ、「ハウスドルフ空間」という条件がついているのか、反省（「よく考える」の意味）するべきだにゃ。

位相の定理の証明なんてものは、すぐにできるもんじゃないにゃ。それでも、投げ出さず、「あ〜でもない、こうでもない」と悪戦苦闘しつつ、挑戦し続けたヒトにしか証明できないものなんだにゃ。だから、諦めずに、何度でも挑戦してみるといいにゃ。

位相にはみんな泣かされるんだケロ。