微分方程式よもやま話８ オイラー法とピカールの逐次近似法。そして、微分方程式の解の一意性定理

微分方程式よもやま話８ オイラー法とピカールの逐次近似法。

 

そして、微分方程式の解の一意性定理

 

 

§１　オイラー法

 

オイラー法とは、次の一階常微分方程式の初期値問題を

　　

を、次の漸化式を使って逐次的に（１）の（特殊）解の近似解（数値解）を求める方法である。

　　

特に、計算領域に配置されている格子点の間隔が

　　

と等間隔の場合、（２）式は次の式のように非常に簡単に表すことができる。

　　

 

このオイラー法を用いて、次の微分方程式の初期値問題を解くことにする。

　　

計算する領域は0≦x≦aとし、これをn等分に分割し、計算に使用する格子点のx座標を次のように与えることにする。

　　

そして、に対応する近似解の値をとすると、オイラー法による（４）式の漸化式は次のようになる。

　　

特に、k=n、すなわち、におけるは

　　

である。

（５）式のn→∞における極限をとると、

　　

となり、（４）の厳密解である

　　

と一致する。

 

さてさて、a=1とすると、

　　

となる。

　　

になることを高校で習ったと思う。

（７）式のnに1、5、10、・・・、10万まで与えた計算した結果は次の通り。

高校で習った

　　e=2.71828（フナ・ヒト・ハチ・ヒト・ハチ）

まで正確に計算するためにはnを１０万までとらないといけない（笑）。

（７）式は非常に収束が遅く、精度の高い計算をするためには、nを非常に大きくとらなければならない。

そして、このことは、オイラー法で微分方程式の初期値問題を正しく解くためには、計算区間の分割数nを大きくとらなければならない、すなわち、格子点の間隔hを細かく取らないとならないといけないことを意味している。

 

 

 

§２　ピカールの逐次近似法

 

ピカールの逐次近似法は、微分方程式の解の一意性定理を証明する際に使用される手法で、数値計算の現場で実際に使用されることはないのですが、オイラー法とよく似た逐次計算法なので、紹介することにする。

 

ピカールの逐次近似法とオイラー法の違いは、ピカールの逐次近似法では変数を使うのに対し、オイラー法は数値を使って、微分方程式（１）の初期値問題を解くというところ。

 

ピカールの逐次近似法

f(x,y)が連続であるとき、

　　

により、関数列を作ると、この極限関数y(x)が微分方程式y'=f(x,y)の解になる。これをピカールの逐次近似法という。

 

微分方程式（４）の初期値問題を、ピカールの逐次近似法を用いて解いてみる。

　　

そこで、n→∞として（１０）の極限をとると、

　　

厳密解と一致する。

 

さて、次の微分方程式の初期値問題をピカールの逐次近似法を用いて解くことにする。

　　

ここで

　　

とおく。

　　

よって、

　　

したがって、

　　

ここで、この解を−∞<x<∞と延長するならば、

　　

(^^)

 

実は、

　　

なんだけれど・・・。

でも、

　　

ということにすれば、ここはクリアーできるに違いない。

 

そして、このピカールの逐次近似法は、微分方程式の解の一意性定理の証明に用いられる手法。

つまり、微分方程式の解の一意性定理は、微分方程式の

　　

を保証してくれないのであった。

 

§３　微分方程式の解の一意性定理

 

ピカールの定理　（１階常微分方程式の初期値問題の解の一意性定理）

一階常微分方程式

　　

について、f(x,y)が

　　

であって、

　　

を満たすとき、y(x₀)=y₀をみたす解y=y(x)が

　　

において、ただ一つ存在する。

 

 

あまりうるさいことを言わなければ、

Dでf(x,y)の偏導関数が連続であるとき、解の一意性が証明される。また、連続でないと、微分方程式の解の一意性は必ずしも保証されない。

 

（１３）の左辺をyについて偏微分すると、

　　

y=0のとき上の偏導関数は存在せず、D=R×R=R²にすると、（１３）の解の一意性は保証されなくなる。

実際は、初期値(x₀,y₀)を与えても微分方程式（１３）の解が一つに定まらないから、ピカールの定理を満たさないのだけれど・・・。

　――ピカールの定理は、あくまで微分方程式の解が一つに定まるための十分条件にすぎず、この条件を満たさない場合でも解が一つに定まることがある。――

 

微分方程式

　　

も、

　　

となるので、上の微分方程式の定義域に原点(0,0)を入れると、「本当に（１４）の解は一つですか。そう断言していいのですか」とイジメられる(^^ゞ

 

では、どうしたらいいのか。

「微積分の根底を探る」で展開されている稲葉三男の提案にしたがうならば、

少なくとも微分積分の範囲では、

微分方程式は

　　

と、連結する集合（切れていない、穴ボコの開いていない集合。たとえば、開区間や閉区間などの区間）で定義されるべきで、微分方程式と同時に定義域を明示するべきだとなる。

これならば、解の一意性は保証される、一般解が、y=Cxと１つに定められる。

そして、

ddt³さんがおっしゃるように、矛盾しないように、あらたな点などを加えて、矛盾しないよう、うまく、微分方程式の解（の曲線）をつなげばよい。

すなわち、右の図のように、原点Oを新たに加えることによってD₁={(x,y)|x>0,y>0}とD₂={(x,y)|x<0,y<0}を一つの集合とし、D₁で定義される微分方程式の解y₁=C₁xとD₂定義される微分方程式の解y₂=C₂xの中から

　　

となるものを選び、D₁∪D₂∪{(0,0)}上で定義されるy=Cxをその（一般）解とする。さらに、D₁∪D₂∪{(0,0)}の補集合の奴まで加えことによって、定義域をR²とするy=Cxを微分方程式（１４）の解を構成する、

みたいな話(^^ゞ