微分方程式よもやま話７ 『謎の答案』の続き

微分方程式よもやま話７　『謎の答案』の続き

 

 

「微分方程式よもやま話６」の中で次の問題に対する「謎の答案」を紹介した。

 

問題１

aを任意の実数とする。(x−a)²+y²=1で与えられる円のすべてに接する（共通）接線の方程式を求めよ。

【謎の答案】

　　

これをaの２次方程式と見て

　　

よって、y=±1である。

【謎の答案終】

 

(x−a)²+y²=1をaの２次方程式と考え、その判別式Dの値を０、すなわち、aの２次方程式①が重根をもつとき、何故か、同心円群(x−a)²+y²=1の包絡線が求められた。

さすが判別式ですね〜。その応用範囲は極めて広い(^^)

 

 

問題２　次の曲線群の包絡線を求めよ。

【謎の答案】

（１）　aの２次方程式と考えと、

　　

その判別式をDとすると、aは実数だから、

　　

でなければならない。

y=−x²/4とy=ax+a²との交点を求めると、

 　　

このとき、y=−x²/4とy=ax+a²は点(−2a,−a²)で接し、y=ax+a²はy=−x²/4の接線になる。

よって、包絡線の方程式は

　　

である。

 

（つまり、aの２次方程式①の判別式D=0とした方程式

　　

が目的の包絡線の方程式になる。

正確にいうと、包絡線の候補で、特異点の軌跡になることもある。）

 

 

（２）　y=ax+1/aの両辺にaをかけると

　　

これをaの２次方程式と考え、D=0とすると、

　　

よって、包絡線の方程式は

　　

 

 

（謎の答案終）

 

このように、aの２次方程式の判別式、D=0とすることによって、包絡線を見つけることができる。

ちなみに、問題２のaを

　　

とおくと、上で求めた包絡線は、クレーロー形の微分方程式の特異解になる。

 

問題３　次の曲線群の包絡線を求めよ。

【謎の答案】

（１）　a²+2ax−y=0をaの２次方程式とみて、

　　

 

 

 

（２）　両辺にaを掛けると

　　

 

 

（謎の答案終わり）

 

演習問題　次の曲線群の包絡線を求めよ。