お前らに問題（５月２８日） 簡単に解ける微分方程式をいかに難しく解くか

お前らに問題（５月２８日）　簡単に解ける微分方程式をいかに難しく解くか

次の微分方程式がある。

　　

これは、

1−y²≠0のとき

　　

と、変数分離法を使って解くのが一般的であろう。

 

ところで、微分方程式（１）は次のように変形することが可能である。

　　

このように変形すると、微分方程式（３）は、

　　

という形の微分方程式、つまり、リッカチ形の微分方程式の一種であることがわかる。

そして、リッカチ形の微分方程式は、一部の例外を除くと、解くことが恐ろしく難しいことで知られている。解けなくて、涙がチョチョギ出るほど難しい。

 

（１）は、変数分離法でたまたま解けるカタチのリッカチ形の微分方程式だから簡単に解けたのであった。

 

最近、このブログで何度も登場している

　　

も

　　

と書き直せるので、リッカチ形の微分方程式。

 

ということで、お前らに問題。

 

問題　次のリッカチ形の微分方程式を、変数分離法を用いずに、解け。

 

どちらか一方でいい。変数分離法を使わずに、この微分方程式を解いて欲しい。変数分離法を使わないければ、どんな姑息な手を使っても構わない。

ただし、一般解を（１）、（２）の左辺に代入し計算したら、右辺になるといった解答は解答として認めない。

 

ちなみに、リッカチ形とベルヌーイ形の微分方程式の一般的な解法については、ねこ騙し数学の次の記事に出ているにゃ。

第５回　ベルヌーイ形、リッカチ形の微分方程式

http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-07-31-5

 

リッカチ形、微分方程式などで検索をかければ、リッカチの微分方程式の解法について出ているサイトが多数あるはずなので、それを参考にして解いても良いにゃ。

 

「問題の（１）、（２）の微分方程式の解の１つがわからないから解けないケロ」と言ってはいけない。

（１）の一般解

　　

に、C=0を代入すれば、y=−1という特殊解（？）が出てくるではないか。

また、特異解y=1だってある。

しまった、（２）は確かにリッカチ形ではあるが、ベルヌーイ形ではないか。問題として出してしまった以上、引っ込められないにゃ。

問題としたら、（２）の方が、断然、楽だね〜。
 

さらに、（１）は

　　

と全微分方程式に書き換えられるので、なにかうまい積分因子を見つけられれば、ひょっとしたら、こっちの線で簡単に解けるかもしれない。

あくまで、「かも」だケロ。

そんな都合のいい積分因子はひょっとしたら無いのかもしれない(^^ゞ

よしんば積分因子を見つけられたとしても、その不定積分が初等的な関数で表わせず、最終的にそれは消えてしまうものの、計算過程で死ぬような思いがする計算をしなければならない、なんて事態に遭遇するかもしれない(^^ゞ

 

ラプラス変換するもよし、フーリエ変換して解こうが、どう解こうが自由だケロ！！

 

 

問題の（１）、（２）の微分方程式は、ともに（４）式の形で表されるリッカチ形の微分方程式なのだから、共通の性質を有しているはずである。

そう考えると、問題の（１）、（２）の一般解の曲線が同じような形をしているのも納得できるような気がするような、気がしないような・・・。

 

（１）の一般解のグラフ

 

 

（２）の一般解のグラフ

 

 

おそらく、「ただの偶然」の一言で片付けてはいけないのだろう。

 

ネムネコは九九すら全部言えないほど計算能力が低いので、こんな難しい計算はできないケロ。
ということで、できた奴は、コメント欄にその計算を書き、ネムネコに送信する。
そうしてくれれば、ネムネコがそれを綺麗に清書し、このブログでその解答を紹介するケロ。