対流と拡散 第４回 ハイブリッド法とべき乗法

対流と拡散　第４回　ハイブリッド法とべき乗法

 

§１　ハイブリッド法

 

前回、定常１次元の対流・拡散をあらわす微分方程式

　　

の厳密解を与える指数法を紹介した。

指数法とは、（１）を次のように離散化して、（１）の数値解を得る方法である。

　　

（３）式の両辺をで割ると、次の式を得る。

　　

横軸に、縦軸にをとり、（６）をグラフにすると、次のようになる。

 

 

このグラフには、

x→−∞のときの漸近線

　　

x=0における接線

　　

x→0のときの漸近線

　　

も合せて破線として示してある。

この図から、（６）はこれらの３本の直線で近似できることがわかる。

すなわち、

　　

これは

　　

または、

　　

と一本の式で表すことができる。

ここで、記号

　　

は、A、B、Cの最大値を表す。

数学の記号で書くと、

　　

である。

 

この方法をハイブリッド法という。

ハイブリッド法は、のとき中心差分、のときは風上差分（上流差分）と一致する。

 

そして、ハイブリッド法による微分方程式（１）の離散化方程式は次のようになる。

　　

 

 

§２　べき乗法

 

図を見ると、ハイブリッド法はの付近において厳密解とのズレが大きい。

そこで、次のように近似する。

のとき

　　

のとき

　　

のとき

　　

 

のとき

　　

この近似式に基づき、各に対してを次のようになる。

 

 

よく近似できていることがわかるだろう。

 

これをパタンカーのべき乗法という。

 

べき乗による（１）式の離散化方程式は次のようになる。

　　

ここで、