第１２回 同値関係と同値類、商集合

第１２回　同値関係と同値類、商集合

 

§１　二項関係

集合Xについて、直積集合X×Xの各元（a,b）について、満たすか満たさないかが判定できる規則Rが与えられたとき、Rを集合X上の二項関係という。順序対（a,b）が二項関係Rを満たすことをaRbやR(a,b)などで表す。また、直積集合X×Xの部分集合

　　

を二項関係Rのグラフという。

 

X上の二項関係Rについて、次の４つの性質を主に考察する。

 

任意のx、y、z∈Xに対して

 

反射律、対称律、推移律を同時に満足する二項関係を同値関係といい、反射律、推移律、反対称律を満足する二項関係を順序関係という。

 

問１　実数全体の集合をとする。上の二項関係Rを次のように定める。次の二項関係は、反射律、対称律、推移律、反対称律のどれを満足しているか。

【解】

（１）　x≦xだから反射律を満たす。

1≦2のならば2≦1は成立しないので、このとき、対称律を満たさない。

x≦yかつy≦zならばx≦zが成立するので、推移律を満たす。

x≦yかつy≦xならばx=yが成立するので、反対称律を満たす。

よって、上の二項関係Rは、反射律、推移律、反対称律を満たす。

つまり、この関係は順序関係である。

 

（２）　x=yとすると、

よって、反射律を満たす。

xRy、すなわち、(x−y)(x+y−1)=0のとき、

よって、対称律を満たす。

②が成立するのは、y=zまたはy=1−zのとき。

y=zを①に代入すると、

y=1−zを①に代入すると

よって、いずれにせよ、推移律を満たす。

しかし、このとき、2=−1でないので、反対称律は成立しない。

よって、この上の二項関係Rは、反射律、推移律、推移律を満たす。

この関係は同値関係である。

（解答終）

 

問１の関係「≦」は、xとyの大小関係、つまり、順序に関する関係。

何故、反射律、推移律、反対称律を満たす関係を順序関係と呼ぶのか、わかってもらえるのではないだろうか。

 

§２　同値関係

 

RをX上の関係とする。任意のx、y、z∈Xに対して

のすべてが成り立つとき、Rは同値関係にあるという。

 

問２　次の関係が同値関係であることを示せ。

 

ここで、は、それぞれ、整数全体の集合、実数全体の集合をあらわし、fは実数から実数への写像とする。

【解】

（１）　a−a=0はnの倍数なので反射律を満たす。

a−bがnの倍数であるとき、ある整数ｍがあってa−b=nm。したがって、b−a=−nm=n(−m)となり、b−aは５の倍数。よって、対称律を満たす。

cを整数し、a−bが５の倍数、かつ、b−cが５の倍数とすると、

　　

である整数lとmが存在する。

　　

ゆえに、a−bがnの倍数、かつ、b−cがnの倍数ならば、a−cはnの倍数。よって、推移律を満たす。

したがって、この関係は同値関係である。

 

（２）　f(a)=f(a)だから推移律を満たす。f(a)=f(b)ならばf(b)=f(a)なので対称律を満たす。

cを実数とする。f(a)=f(b)かつf(b)=f(c)ならばf(a)=f(c)なので推移律を満たす。

よって、この関係は同値関係である。

（解答終）

 

a∈Xに対して

　　

をaのRによる同値類といい、やなどで表す。また、b∈C(a)を同値類C(a)の代表元と言い、特に、aはC(a)の代表元である。

集合A上の同値関係Rが定義されているとき、任意の元a∈Xの同値類は部分集合である。同値類をすべて集めた集合を、同値関係Rによる商集合といい、記号で表す。

 

定理　RをX上の同値関係とする。このとき、次のことが成り立つ。

 

 

この定理から、同値類は共通部分をもたないか、一致するかのいずれか一方である。したがって、同値類全体の集合はXの直和分割を与える。この分割を同値関係RによるXの類別という。

 

§３　集合の濃度

 

A、B、Cを任意の集合とする。

集合の対等に関しては、次のことが成り立つ。

 

したがって、集合の対等〜は、同値関係。

この同値関係〜による同値類をAの濃度、または、基数と呼び、記号｜A｜で表す。