第９回 像と逆像

第９回　像と逆像

 

を写像とする。Xの部分集合A⊂Xの要素のfによる像の全体をf(A)で表し、Aのfによる像という。

すなわち、

　　

である。

また、Yの部分集合B⊂Yに対して、Xの部分集合

　　

をfによるBの原像と言い、で表す。

 

【注意】

写像の逆写像f⁻¹と同一の記号を用いているが、逆写像とは似て非なるもの、異なるものなので注意。

f(x)=x²で定められる写像があり、B=[0,4]⊂Rとすると、

　　

また、∅⊂Rだから、

　　

 

 

定理１　とすると、次のことが成り立つ。

【証明】

（１）　A₁⊂A₂とする。y=f(x)∈f(A₁)とすると、y=f(x)となるx∈A₁が存在する。

また、A₁⊂A₂だからx∈A₂となり、y=f(x)∈f(A₂)。

よって、

　　

 

（２）　A₁∩A₂⊂A₁、A₂。

（１）より、

　　

 

（３）　A₁、A₂⊂A₁∪A₂だから、

　　

y∈f(A₁∪A₂)とすると、y=f(x)となるx∈A₁∪A₂が存在する。

x∈A₁のときy=f(A₁)だからy∈f(A₁)∪f(A₂)。

x∈A₂のときy=f(A₂)だからy∈f(A₁)∪f(A₂)。

いずれの場合も、y∈f(A₁)∪f(A₂)。

故に、

　　

 

（４）　y∈f(A₁)−f(A₂)とすると、y=f(x)となるx∈f(A₁)が存在し、かつy=f(x)∉f(A₂)である。

仮にx∈A₂とすると、f(x)∈f(A₂)となり、矛盾。よって、x∉A₂。

故に、

　　

（証明終）

 

例１　f(x)=x²によって写像を定め、Rの部分集合A₁、A₂を閉区間

　　

とすると、

　　

である。

したがって、

　　

また、

　　

となり、定理１の（２）、（４）に関して、一般に等号が成立しないことがわかる。

定理（２）、（４）で等号が成り立つのはfが単射のときである。

 

 

定理２　を写像、A⊂X、B⊂Yとすると、次のことが成り立つ。

 

【証明】

（１）　とすると、f(x)∈f(B₁)。仮定よりB₁⊂B₂だから、f(x)∈B₂。

故に、

 

（証明終）

 

 

定理３　を写像、A⊂X、B⊂Yとする。このとき、次のことが成り立つ。

【証明】

（１）

⇒　f(A)⊂Bとする。

x∈Aとすると、f(x)∈f(A)。仮定より、f(x)∈B。よって、x∈f⁻¹(B)。

したがって、A⊂f⁻¹(B)である。

 

⇐　A⊂f⁻¹(B)であるとする。

y∈f(A)とすると、あるx∈Aが存在してy=f(x)。仮定より、A⊂f⁻¹(B)だからx∈f⁻¹(B)。よって、y=f(x)∈B。

ゆえに、A⊂f⁻¹(B)

 

（２）　x∈Aならばf(x)∈f(A)。

よって、

　　

 

（３）　とすると、y=f(x)となる元x∈f⁻¹(B)が存在する。

よって、

　　

（証明終）

 

例２　f(x)=x²によってを定め、A=[0,2]、B=[−1,4]とする。

このとき、

　　

定理３の（２）で等号が成立するのは単射のときである。

また、

　　

定理３の（３）で等号が成立するのは全射のときである。