考えるネムネコ この積分に留数定理を使いますか

考えるネムネコ　この積分に留数定理を使いますか

 

つい最近、

「次の（広義）積分の値

　　

は、留数定理を使うと

　　

と、簡単に求められます。：

といった記述を目にし、ネムネコは思わず目が点になってしまった。

何故に、この積分に留数定理を(・・?

 

留数定理

（複素）関数f(z)が閉曲線Cの内部に有限個の特異点、をもち、これらの点以外では曲線C上およびその内部で正則（微分可能）であるとき、次の関係が成り立つ。

　　

 

さらに、（１）を求めるためには、

f(z)は上半平面Im z≧0で有限個のを除き正則であり、かつ、実軸上に極を持たず、かつ、

　　

であるとする。

このとき、

　　

である。

などを使わないといけない。

 

全然、簡単じゃない。

しかも、（４）で求められるのは、普通の意味での（広義）積分の値ではなく、コーシーの主値積分と呼ばれるものなので注意。

 

さて、（１）は

　　

を使うと、

　　

と、簡単に求められる。

うるさいことを言うと、

　　

などと書くべきなのでしょうけれど、簡略表現として認められている。

 

そして、留数定理を使ってこの広義積分を求めたいのであれば、たとえば、次のようにすればよいだろう。

 

R>1とし、積分経路である閉曲線Cを

　　

に分解する。

ここで、

　　

である。は原点を中心とする半径Rの円の上半分、半円の円弧。

そして、

　　

とおく。

すると、f(z)は閉曲線Cの内部に、z=i（iは虚数単位）を１次の極にもつ。

したがって、z=iにおける留数は

　　

になる。

また、

　　

になるので、f(z)は（３）の条件を満たしている。

したがって、（４）より

　　

 

これは簡単だろうか？

 

では、ここで、一つ、宿題を。

 

宿題　次の広義積分が存在することを証明しなさい。

　　

ただし、

　　

は証明に使用してはならない。

 

原始関数がどうたらかんたらってのは、この宿題の解答として絶対に認めない。そんなことを書いたら、即、０点！！

定積分、広義積分の定義に従って証明して欲しい。

 

「上に有界な（単調）増加数列は収束し、極限値を持つ」の類（たぐい）、あるいは、コーシーの収束判定条件などは使ってもいい。

あと、x∈[a,b]において、f(x)≧g(x)ならば

　　

も使ってよし。

 

こういうのは、いかにも数学って感じがして、いいと思わない？

 

コメント 1

　じつはこの積分、ラプラス型方程式の境界要素法のFree Termの計算に出てきます。

　で自分は、留数定理は使いません。使うと余計に訳わかんなくなる(^^;)。ちゃんとアークタンジェントで積分せぇ～！。

　という訳でアークタンジェント禁止ってのは、ちょっとつらいな(^^)。
by ddtddtddt (2018-04-03 18:17)